LOGO МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Автор: Семёнова Елена Юрьевна

LOGO Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано Джероламо Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

LOGO Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a + b 1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i =1 предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius.

LOGO Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел ДАламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Из истории комплексных чисел Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс

LOGO Cодержание Множества чисел 1 Алгебраические операции 2 Понятие комплексного числа 3 Действия над комплексными числами 4 Понятие сопряженного числа 5 Примеры 6

LOGO Множества чисел R Q Z N С N Z Q R C

LOGO Алгебраические операции Натуральные числа: +, Целые числа: +, –, Рациональные числа: +, –,, ÷ Действительные числа: +, –,, ÷, любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –,, ÷, любые длины, 1

LOGO Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi. i 2 = 1, i – мнимая единица. Число Re z называется действительной частью числа z, а число Im z – мнимой частью числа z. Их обозначают a и b соответственно: a = Re z, b = Im z. Определение: Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными.

LOGO Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: C 1 ) Существует комплексное число, квадрат которого равен ( 1 ). С 2 ) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С 3 ) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). i – начальная буква французского слова imaginaire – « мнимый »

LOGO Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i Вычитание ( a + bi ) ( c + di ) = ( a c ) + ( b d ) i Умножение ( a + bi ) ( c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2 = ( ac bd ) + ( bc + ad ) i Деление a + bi c + di ac + bd c 2 + d 2 = + i bc ad c 2 + d 2

LOGO Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойство 1: Если z = a + bi, то z z = a 2 + b 2. Свойство 2: z 1 + z 2 = z 1 + z 2. Свойство 3: z 1 – z 2 = z 1 – z 2. Свойство 4: z 1 z 2 = z 1 z 2. Свойство 5: z 1 z 2 z 3 … z n = z 1 z 2 z 3 … z n. Свойство 6: z n = ( z ) n.

LOGO Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3 i ) + (5 + i ) = (2 + 5) + (3 + 1) i = i ; 2. (– i ) + (1 – 8 i ) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8)) i = – 1 – 5 i ; 3. (– i ) + (1 – 3 i ) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3)) i = – i = – 1. (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Например: (5 – 8 i ) – (2 + 3 i ) = (3 – 2) + (– 8 – 3) i = 1 – 11 i ; (3 – 2 i ) – (1 – 2 i ) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2)) i = i = 2.

LOGO Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– i )(2 + 5 i ) = – 2 – 5 i + 6 i + 15 i 2 = – 2 – 5 i + 6 i – 15 = – 17 + i ; 2. (2 + 3 i )(2 – 3 i ) = 4 – 6 i + 6 i – 9 i 2 = = 13. Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi)(a – bi) = a 2 – abi + abi – b 2 i 2 = a 2 + b 2 Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi di = bdi 2 = bd Например: 1. 5 i 3 i = 15 i 2 = 15; 2. 2 i 3 i = 6 i 2 = 6.

LOGO Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c 2 + d 2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например: a + bi c + di ac + bd c 2 + d 2 = = + i bc ad c 2 + d 2 (a + bi)(c di) (c + di)(c di)

LOGO Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ

LOGO