уравнения Киселева, Красноперова, Фадюхина, Почуйко, Павлова 9Г класс 138 школа.

Уравнения. Уравнения- это равенство двух буквенных выражений А(х,y…z), B(x,y…z),где А(х,y…z)= B(x,y…z) Если А и В алгебраическое выражения, то составляющее уравнение называется алгебраическим уравнением.

Решением уравнения Решением уравнения или корнем уравнения называется такое числовое значение переменой х, при постановке которой оно образуется в верное алгебраическое выражения

Основные понятия Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b, c – заданные числа, причем a 0, другое название – квадратный трехчлен. Коэффициенты уравнения: 1.a – первый (или старший) коэффициент, 2.b – второй коэффициент, 3.c – третий коэффициент (другое название – свободный член уравнения).

Примеры квадратных уравнений Примеры квадратных уравнений: А вот примеры уравнений, не являющихся квадратными: Обратите внимание на то, что наличие в уравнении слагаемого вида ax 2 еще не означает, что уравнение является квадратным. при a = 0 получается более простое уравнение – линейное, а условие a 0 означает, что мы встретились с "настоящим" квадратным уравнением.

Приведённое квадратное уравнение Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 (1) называется приведенным, если a = 1. Исторически традиционная запись x 2 + px + q = 0, т.е. буквы b и с заменяют на p и q. К такому виду можно привести любое квадратное уравнение, разделив его на старший коэффициент: Смысл такого приведения – уменьшение числа коэффициентов, что в некоторых случаях облегчает работу с уравнением.

Определения Число x 0 называется корнем квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, (1) если при подстановке этого числа вместо переменной x получается верное равенство. Корни уравнения (1) называют также корнями квадратного трехчлена. Не всякое квадратное уравнение имеет корни. Примеры. 1.Уравнение x 2 – 4 = 0 имеет два корня: x 1 = –2 и x 2 = 2. 2.Уравнение x = 0 не имеет корней (точнее, не имеет действительных корней).

Теорема Виета мы рассмотрим свойства квадратичной функции М ногочлен второй степени в правой части этого равенства называется квадратным трехчленом, но иногда так называют и саму квадратичную функцию. Основным инструментом в предстоящей работе будет известная нам формула для корней квадратного уравнения:

В частности, из этой формулы непосредственно вытекает знаменитая теорема Виета: если x 1 и x 2 – корни уравнения ax 2 +bx+c=0, то их сумма равна -b\a, а произведение равно c\a : При а=1 х1+х2=-в и х1*х2=с

Запишем формулировку теоремы Виета по схеме "если A, то B": Теперь нетрудно сформулировать и обратную теорему Виета Чтобы доказать теорему, обратную тереме Виета, надо просто заменить коэффициенты квадратного трехчлена их выражениями через x 1 и x 2, а затем то, что получится, разложить на множители:

Отсюда видно, что x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена. С помощью обратной теоремы Виета удобно проверять, являются ли данные числа корнями квадратного уравнения. Именно так для многих простых уравнений можно подобрать корни, не выписывая формулу для корней.

Древнегреческая задача о статуе Минервы. Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли. Хоризий принёс половину всей жертвы, Фестия часть восьмую дала, десятую- Солон. Часть двадцатая – жертва певца Фемисона. А девять – все завершивших талантов – Обед, Аристоником данный. Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли ? Линейное уравнение.

Алгебраический способ Пусть поэтами в дар принесены x талантов. Уравнение выглядит так : x/2 + x/8 +x/10+x/20+9= x x = 40 Ответ: 40 талантов золота.

Способ подбора НОК ( 2, 8, 10, 20) = НОК(8, 20 )= 40. Допустим,что золото для статуи составляет 40 талантов. Проверим условие задачи: 40/2+40/8+40/10+9= =40 Число 40 подходит. Ответ:40талантов.

Решить уравнение 36х 3 –27х 2 –х+2 12(х –9) Х 12х / ( - Х 4х х-36 ) = 0

Решение Х 12х / ( - Х 4х х-36 ) = 0 36х 3 -27х 2 -х+2 12(х 2 -9) / ( Х 12(х-6х+9) - Х 4(х-9) (х-3) ) = 0 36х 3 -27х 2 -х+2 12(х 2 -9) / Х 12(х-3) 2 - ( - Х 4(х 2 -9) 1 12(х-3) ) =) = 0 36х 3 -27х 2 -х+2 12(х 2 -9) Х(х+3)-3х(х-3)-(х 2 -9) 12(х-3)(х 2 -9) / = 0 36х 3 -27х 2 -х+2 12(х 2 -9)

х 3 -27х 2 -х+2 12(х 2 -9) * 12(х-3)(х-3) (х+3) х 2 +3х-3х 2 +9х-х 2 +9 = 0= 0 36х 3 -27х 2 -х+2 12(х 2 -9) * 12(х-3)(х-3) (х+3) -3х 2 +11х+9 ( 36 х 3 – 27 х 2 - х+ 2) 12(х 2 -9)(-3х 2 +11х+9) 12(х-3)(х-3) (х+3) = 0= 0 = 0= 0 = 0= хх х 3 (36х 3 -27х 2 -х+2)(х-3) -3х 2 +11х+9 Если дробь равна нулю, то знаменатель равен нулю, а числитель отличен от нуля. х -3 3х-11х-9 0 Д одз

(36х 3 -27х 2 -х+2)(х- 3)=0 Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. х-3=0 Не удовлетворяет 36х-27х-х+2=0 х((6х) 2 -2*6х*2+4)-3х 2 -5х+2=0 х(6х-2) 2 -(3х 2 +5х-2)=0 Разложим многочлен 3х 2 +5х-2 на множители 3х 2 +5х-2=0 Д=25+24=49 х1=х1= х2=х2= х 1 =-2х2=х2= 13 13

х(6х-2) 2 -3(х )(х 2 +2)=0 4х(3х-1) 2 -(3х-1)(х+2)=0 (3х-1)(4х(3х-1)-х-2)=0 (3х-1)(12х 2 -4х-х-2)=0 Если произведение равно нулю,то хотя бы один из множителей равен нулю Х= х 2 -5х-2=0 Д=25+96=121 х1=х1= х2=х2= х1=х1=х2=х2= Ответ: х1=х1= 2323 х2= -х2= - 1 4