Автоколебательные системы. Предельные множества: аттракторы, репеллеры и седла По энергетическому признаку динамические системы делятся на консервативные и неконсервативные. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамильтоновыми. Динамические системы с изменяющимся во времени запасом энергии называются неконсервативными. Системы, в которых энергия уменьшается во времени из-за трения или рассеяния, называются диссипативными. Физически реализуемой системой является маятник с трением, колебания в котором затухают со временем – система стремится к некоторому устойчивому состоянию, в определенных пределах не зависящему от начального состояния.

Движения диссипативных систем целесообразно разделить на два класса: переходных, нестационарных движений, отвечающих процессу релаксации системы от начального к некоторому определенному состоянию (множеству состояний), и класс установившихся, стационарных движений, которые отражают устойчивое во времени, стационарное состояние (множество состояний) системы. Стационарный режим не обязательно есть состояние равновесия – это могут быть и колебания, в том числе и очень сложной формы. Они возможны за счет наличия в системе некоторого источника энергии, расходуемой на поддержание движения. Принципиальным также является тот факт, что как потери, так и подкачка энергии, зависят от того, насколько система отклонилась от равновесного состояния. Это свойство является проявлением нелинейности динамической системы.

Нелинейность и нелинейное ограничение Одним из важных свойств сложных систем является нелинейность. Пусть мы имеем дело с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения. Будет ли оно бесконечным? В реальной жизни – никогда. Отклонение будет нарастать до тех пор, пока не вступит в действие некий механизм нелинейного ограничения процесса нарастания возмущения. Что это такое? С физической точки зрения нарастание амплитуды не может происходить до бесконечности. На первом этапе, когда отклонение от исходного состояния мало, оно может нарастать. Дальше в силу ограниченности энергетических ресурсов системы это нарастание должно прекратиться или смениться уменьшением амплитуды отклонения. Любой новый режим должен иметь конечную амплитуду, и управляют этими процессами нелинейные законы. Мы говорим о нелинейности тогда, когда свойства системы непосредственно зависят от ее состояния (в случае линейных систем, их свойства от состояния не зависят).

Рассмотрим пример. Пусть зависимость амплитуды отклонения f от исходного состояния x определяется следующим соотношением: где k и b – постоянные положительные коэффициенты. Если x

Таким образом, в результате действия нелинейности и нелинейного ограничения в динамической системе найдется состояние (траектория), для которого расход и подкачка энергии сбалансированы в среднем во времени. Такое состояние и будет устойчивым. Чтобы подчеркнуть, что система сама, за счет внутренних свойств, достигает подобного колебательного режима и поддерживает его, используют термин «автоколебания». Автоколебательной называют динамическую систему, преобразующую энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики установившихся колебаний (амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами системы и в некоторых пределах не зависят от выбора исходного начального состояния. Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны внешним периодическим воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы. Автоколебания отличаются и от свободных колебаний (н-р, колебаний свободно подвешенного маятника) тем, что, во-первых, свободные колебания со временем затухают, во-вторых, их амплитуда зависит от первоначального «толчка», создающего эти колебания.

Примерами автоколебаний служат: незатухающие колебания маятника часов за счет постоянного действия заводной гири или заведенной пружины; колебания скрипичной струны под воздействием равномерно движущегося смычка; колебание воздушного столба в трубе органа при равномерной подаче воздуха в нее; электрические колебания в ламповом генераторе.

Механизм автоколебаний Автоколебательные системы можно разделить на 3 основных элемента: 1) колебательную систему; 2) источник энергии, за счет которого поддерживаются автоколебания и 3) устройство, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему. S – источник постоянного (непериодического) воздействия; R – нелинейный регулятор, преобразующий постоянное воздействие в переменное (н-р, в прерывистое во времени), которое и «раскачивает» колеблющийся элемент системы V, а колебания через обратную связь B управляют работой регулятора R, задавая фазу и частоту его действия. Диссипация (рассеивание энергии) в автоколебательной системе восстанавливается за счет поступления в нее энергии из источника постоянного воздействия, благодаря чему автоколебания не затухают.

Если колеблющийся элемент системы способен к собственным затухающим колебаниям (т.н. гармонический диссипативный осциллятор), автоколебания (при равенстве диссипации и поступления энергии в систему за время периода) устанавливаются на частоте, близкой к резонансной для этого осциллятора, их форма становится близкой к гармонической, а амплитуда, в некотором диапазоне значений, тем больше, чем больше величина постоянного внешнего воздействия. Примером такого рода системы может служить анкерный механизм маятниковых часов, схема которого представлена на рисунке. На ось анкерного колеса A (которое в этой системе выполняет функцию нелинейного регулятора) действует постоянный момент силы M, передающийся через зубчатую передачу от заводной пружины или от гири. При вращении колеса A его зубцы сообщают кратковременные импульсы силы маятнику P (осциллятору), благодаря которым его колебания не затухают. Кинематика механизма играет роль обратной связи в системе, синхронизируя вращение колеса с колебаниями маятника таким образом, что за полный период колебания колесо поворачивается на угол, соответствующий одному зубцу.

Обобщенная схема радиофизического генератора автоколебаний В простейших автоколебательных системах можно, как правило, выделить следующие основные элементы: 1)колебательная система с затуханием; 2)усилитель, содержащий источник энергии и преобразователь энергии источника в энергию колебаний; 3)нелинейный ограничитель; 4)звено обратной связи. Напряжение с контура подается на вход активного элемента – усилителя с нелинейной характеристикой (зависимость тока усилителя на выходе от напряжения на входе). Выход усилителя нагружен на катушку индуктивности, которая индуктивно связана с катушкой контура – так обеспечивается обратная связь. Механизм возникновения автоколебаний можно описать следующим образом. Даже при отсутствии напряжения на выходе усилителя, напряжение в контуре испытывает некоторые флуктуации (в контуре случайным образом возникают малые собственные колебания). Они усиливаются усилителем и вновь поступают в контур через цепь обратной связи. Если энергия, вносимая таким образом, превосходит энергию потерь, амплитуда колебаний нарастает (для этого необходимо, чтобы коэффициент усиления был достаточно велик). Но так как зависимость i(u) нелинейна, то с ростом напряжения, коэффициент усиления начнет падать. Энергия, поступающая в контур, будет уменьшаться и при некоторой амплитуде колебаний станет равной энергии потерь. В контуре установятся стационарные автоколебания с постоянной амплитудой.

Ламповый генератор Ван дер Поля как классическая модель автоколебательной системы

Чтобы колебания были незатухающими, поступающая из источника в систему энергия должна компенсировать потери энергии в самой системе. Такая компенсация происходит в целом за период колебаний; но в одни части периода поступающая энергия может превышать потери в системе, в другие, наоборот, потери в системе могут превышать поступление энергии в неё. То значение амплитуды колебаний, при котором происходит компенсация потерь в целом за период, и является стационарным (не изменяющимся со временем) значением амплитуды автоколебаний. Такой баланс поступления и потерь энергии оказывается возможным только при определённых значениях амплитуды автоколебаний (в простейших случаях только при одном значении). Обычно при значениях амплитуды колебаний, меньших стационарной, поступление энергии в систему превышает потери в ней, вследствие чего амплитуда колебаний возрастает и достигает стационарного значения. В частности, если в систему поступает энергия больше, чем теряется в ней при сколь угодно малых амплитудах колебаний, то происходит самовозбуждение колебаний. Наоборот, при амплитудах, превышающих стационарное значение, потери энергии в системе обычно превышают поступление энергии из источника, вследствие чего амплитуда колебаний уменьшается и также достигает стационарного значения. Таким образом, отклонения амплитуды автоколебаний в ту или другую сторону от стационарного значения затухают, и автоколебания в этих случаях устойчивы.

При описании поведения динамической системы в терминах фазового пространства (пространства переменных состояния математической модели) установившемуся режиму соответствует некий объект (состояние/множество состояний/некоторая траектория), который «притягивает» траектории из некоторой окрестности. Подобный объект (или геометрический образ установившихся автоколебаний в фазовом пространстве системы) называется аттрактор (от англ. глагола to attract – притягивать, привлекать). Динамическая система может иметь несколько аттракторов при одних и тех же значениях управляющих параметров. Наглядным примером может служить движение шарика на поверхности сложного рельефа, содержащего ряд ямок и бугорков. Очевидно, что каждой локальной ямке соответствует область, из которой шарик в нее скатится. При попадании шарика за пределы этой области – он скатится в другую ямку. Система, в фазовом пространстве которой сосуществует несколько устойчивых состояний, называется мультистабильной. В простейшем случае, когда сосуществуют только два устойчивых состояния, система называется бистабильной. Множество значений начальных условий (область начальных состояний системы), при которых в системе наблюдается один и тот же аттрактор, называется бассейном притяжения аттрактора.

С точки зрения отображений как моделей, описывающих реальные системы, свойство диссипативности проявляется прежде всего в сжатии фазового объема. Если задать в качестве начальных условий облако точек (сферу малого радиуса, окружающую начальную точку), равномерно заполняющих некоторый объем, а затем следить за его эволюцией во времени, то в диссипативной системе начальный объем будет в среднем во времени уменьшаться. Таким образом, малые возмущения в итоге затухают и система вернется в исходный устойчивый режим. Для одномерного отображения с его единственной переменной фазовый объем вырождается в отрезок значений x n. В этих условиях свойство диссипативности ассоциируется прежде всего с неубеганием траектории на бесконечность. Прежде чем интерпретировать понятие аттрактора для систем с дискретным временем, определим понятие предельного множества. Определение 1. Пусть задана динамическая система в виде вектора состояния x и оператора эволюции L( t, x) так, что для любого начального значения x 0 в момент t 0 может быть найден его образ в момент (t + t) как x = L( t, x 0 ). Тогда, если в фазовом пространстве существуют два множества V и L V такие, что для любого x 0 V при t + или при t - x(t) L, то L – предельное множество.

Классификация предельных множеств Определение 2. Если для любого x 0 V при t + выполняется x(t) L, то L есть аттрактор. Простейшим примером аттрактора отображения является устойчивая неподвижная точка – узел или фокус, для которой множество L содержит единственное значение. Другой несколько более сложный пример – устойчивый цикл. Для цикла периода m множество L состоит из m точек. Возможны и более сложные типы аттракторов, содержащие бесконечное число точек. В качестве примера можно привести аттрактор в виде замкнутой инвариантной кривой. Все перечисленные типы предельных множеств относятся к классу простых или регулярных аттракторов. К четвертому типу предельных множеств динамической системы относятся так называемые хаотические (странные) аттракторы.

Определение 3. Если для любого x 0 V при t - выполняется x(t) L, то L есть репеллер. Данное определение основано на том, что для динамической системы время может быть инвертировано, и ее эволюция в инвертированном времени подобна прокрученной в обратном направлении кинопленке. Определение репеллера, таким образом, утверждает, что в обратном времени он является аттрактором. В случае отображений, однако, имеется одна тонкость. При переходе от динамической системы с непрерывным временем, соответствующее отображение вполне может оказаться необратимым. Это означает отсутствие однозначного соответствия x n x n-1. В этом случае можно попытаться модифицировать отображение таким образом, чтобы его свойства вблизи интересующего предельного множества остались неизменными, но оно стало обратимым. Как правило, это можно проделать переходом к двумерному отображению.

Определение 4. Если V может быть разбито на два подмножества так, что V = W S W U, и для любого x 0 W S при t + выполняется x(t) L, для любого x 0 W U при t - выполняется x(t) L, то L есть седло. Седло – это объект, устойчивый по одному направлению и неустойчивый – по другому. Множества W S и W U называют устойчивым и неустойчивым многообразиями седла. Так же как аттракторы и репеллеры, седла могут быть представлены различными типами геометрических объектов. Мы уже познакомились с седловым состоянием равновесия. В отображениях большей размерности возможны седловые циклы и даже хаотические седла, образующиеся при определенном сценарии потери устойчивости хаотического аттрактора.

Инвариантные множества По определению, траектория не может покинуть аттрактор. Иными словами, если точка x n принадлежит аттрактору, то и все ее образы, получающиеся при итерировании отображения, также принадлежат аттрактору. Это свойство характеризует так называемые инвариантные множества. Определение 5. Множество S называется инвариантным, если для любого x S, его образ также принадлежит этому множеству: f(x) S. Может показаться, что свойство инвариантности связано со свойством устойчивости, поскольку все траектории из некоторой окрестности сходятся к аттрактору. Однако это не так. Рассмотрим неподвижную точку x * некоторого отображения f. Так как условие f(x * ) = x * выполняется вне зависимости от устойчивости неподвижной точки, то множество x*, состоящее из единственной точки, инвариантно. Таким образом, и репеллер, и седло являются инвариантными множествами. Инвариантными свойствами обладают, в частности, устойчивое и неустойчивое многообразия седла. Действительно, если некоторая начальная точка x n 0 принадлежит, например, W S, то, очевидно, и все ее образы отвечают тому же условию. Более того, все прообразы этой точки также принадлежат W S. С устойчивым и неустойчивым многообразиями неподвижной точки связаны понятия гомоклинической и гетероклинической траектории.

Особые траектории

Гомоклинические траектории в одномерном отображении Приведенное определение гомоклинической траектории неявно предполагает, что у неподвижной точки имеются устойчивое и неустойчивое многообразия, связанные с соответствующими значениями собственных чисел (мультипликаторов) неподвижной точки. К подобным неподвижным точкам относятся рассмотренные нами ранее случаи. -1 < 1 < 0 и 2 < -1 – обратное седло. Траектория сходится по одному из собственных векторов, но расходится по другому. Отклонение меняет знак при каждой итерации. 0 < 1 < +1 и 2 < -1 – неориентируемое седло 1. По одному из направлений траектория расходится, причем отклонение меняет знак на каждой итерации. По другому направлению отклонение монотонно убывает. 1 > +1 и -1 < 2 < 0 – неориентируемое седло 2. То же, что и неориентируемое седло 1, но отклонение меняет знак на каждой итерации для устойчивого направления. 1 > +1 и 0 < 2 < +1 – седло. Траектория монотонно сходится к неподвижной точке по одному направлению, но разбегается по другому.

Рассмотрим отображение вида При µ = 2 оно не имеет устойчивых циклов любого периода. По этой причине весь интервал значений (-1, 0) принадлежит неустойчивому многообразию неподвижной точки x * = -1: итерации любой точки из него дают траекторию, удаляющуюся от x*. Однако на границе интервала имеется точка x c = 0, для которой итерации дают: …. Таким образом, как минимум две точки x = 0 и x = 1 обладают особым свойством: их прямые итерации приводят в неустойчивую неподвижную точку x* = -1 за конечное (2 и 1 соответственно) число шагов. В то же время их обратные итерации (прообразы) сходятся к той же самой точке x* = -1. Такую траекторию, включающую все образы и прообразы точки x c, назовем гомоклинической к x* траекторией одномерного отображения. Точки, принадлежащие гомоклинической траектории, называют гомоклиническими точками.

Те же рассуждения можно применить и к циклам периода m, для чего требуется лишь рассмотреть m раз примененное отображение f (m). Можно поставить вопрос о существовании гомоклинической траектории и иначе: для каких значений параметра µ точка x c будет гомоклинической к некоторой неустойчивой неподвижной точке x * периода m? (48) (49) (50) (49)(50)