Векторы в пространстве Выполнен ученицей 114 класса Лавровой Елизаветой

Это учебник создан для экзамена по геометрии. Это учебник создан для экзамена по геометрии. В нем рассмотрена темы 10-го класса- Векторы в пространстве, и действия над векторами в пространстве. В нем рассмотрена темы 10-го класса- Векторы в пространстве, и действия над векторами в пространстве. Уверена вам понравится!!! Уверена вам понравится!!!

Абсолютная величина и направление вектора. Абсолютная величина и направление вектора. Абсолютная величина и направление вектора. Абсолютная величина и направление вектора. Векторы в пространстве Векторы в пространстве Векторы в пространстве Векторы в пространстве Действия над векторами: Действия над векторами: Действия над векторами: Действия над векторами: Тест Тест Об авторе Об авторе Об авторе Об авторе

Вектором мы будем называть направленный отрезок (рисунок 1). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, Ь, с,.... Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта. Вектор на рисунке 1 можно обозначить так:(рисунок 1) или или

Векторы называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и СD одинаково направлены. Векторы называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и СD противоположно направлены. На рисунке 212 векторы одинаково направлены, а векторы противоположно направлены. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора а обозначается. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой. О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю(Рисунок 2).(Рисунок 2)

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. Координатами вектора с началом в точке А 1 (х 1 ; у 1 ; z 1 ) и концом в точке А 2 (х 2 ;y 2 ;z 2 ) называются числа х 2 - х 1, у 2 - у 1, z 2 - z 1. Так же, как и на плоскости, доказывается, что равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание для обозначения вектора его координатами: а (a 1, a 2 ; а 3 ) или просто (а 1 ; а 2 ; а 3 ).

Так же, как и на плоскости, определяются действия над векторами: сложение, разность, умножение на число и скалярное произведение.сложение разность умножение на число скалярное произведение

Суммой векторов (a 1 ; а 2 ; а 3 ) и (b 1 ; b 2 ; b 3 ) называется вектор: (a 1 + b 1 ; а 2 + b 2 ; а 3 + b 3 ). Так же,как и на плоскости, доказывается векторное равенство (доказательство) :(доказательство)

Пусть A (х1; у1),В(х2; у2),С(х3; у3) - данные точки (рисунок 3).Вектор имеет координаты х 2 -х 1,y 2 -y 1, вектор имеет координаты х 3 - х 2, у 3 -y 2. Следовательно, вектор имеет координаты х 3 -х 1, у 3 -у 1. А это есть координаты вектора. Значит, векторы равны. Теорема доказана.(рисунок 3)

Разностью векторов (а1;а2;a3) и (b1; b2;b3) называется такой вектор (с1; с2;c3), который в сумме с вектором дает вектор : Ь. Отсюда находим координаты вектора : c1=a1-b1;c2=a2-b2;c3=a3-b3 c1=a1-b1;c2=a2-b2;c3=a3-b3

Дано: Дано: -имеют общее начало -имеют общее начало Доказать: Доказать:

Решение: Решение:

Дано: Дано: A(2;7;-3) A(2;7;-3) B(1;0;3) B(1;0;3) C(-3;-4;5) C(-3;-4;5) D(-2;3;-1) D(-2;3;-1) Найти: Найти: Среди всех векторов указать равные Среди всех векторов указать равные Надо найти координаты всех векторов и сравнить эти координаты. Надо найти координаты всех векторов и сравнить эти координаты. :1-2=-1, 0-7=- 7, 3-(-3)=6 :1-2=-1, 0-7=- 7, 3-(-3)=6 У вектора такие же координаты: -3-(-2)=-1, -4-3=-7, 5-(-1)=6. Значит и равны. Другой парой равных векторов будут и У вектора такие же координаты: -3-(-2)=-1, -4-3=-7, 5-(-1)=6. Значит и равны. Другой парой равных векторов будут и

Дано: Дано: (1;2;3) (1;2;3) Найти: Найти: Коллинеарный вектор с началом в точке A(1;1;1) и концом B на плоскости xy. Коллинеарный вектор с началом в точке A(1;1;1) и концом B на плоскости xy. Координата z точки В равна нулю. Координаты вектора : х-1, у-1, 0-1 1=-1. Из коллинеарности векторов и получаем пропорцию: Отсюда находим координаты x, y точки B: Отсюда находим координаты x, y точки B:

Произведением вектора а(a1; а2; a3) на число λ называется вектор Так же, как и на плоскости, доказывается, что абсолютная величина вектора λа равна \λ\ \ \, а направление совпадает с направлением вектора, если λ> 0, и противоположно направлению вектора, если λ

Скалярным произведением векторов и называется число a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3. Буквально так же, как и на плоскости, доказывается, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между векторами.

Дано: Дано: A(0;1;-1) A(0;1;-1) B(1;-1;2) B(1;-1;2) C(3;1;0) C(3;1;0) D(2;-3;1) D(2;-3;1) Найти: Найти: cosφ=? cosφ=? Решение: Решение: Координатами вектора будут: 1-0=1, -1-1=-2, 2-(-1)=3 1-0=1, -1-1=-2, 2-(-1)=3 Координатами вектора будут: 2-3=-1, -3-1=-4, 1- 0=1 2-3=-1, -3-1=-4, 1- 0=1 Значит,