Треугольники. Задачи на построение.

Содержание: Определение Виды треугольника Первый признак равенства треугольников. Доказательство. Второй признак равенства треугольников. Доказательство. Третий признак равенства треугольников. Доказательство. Задача на построение правильного многоугольника вписанного в данную окружность. Задача на построение треугольника по трём отрезкам. Задача на построение биссектрисы данного угла.

Определение ТРЕУГОЛЬНИК, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (сторонами треугольника), имеющими попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Сумма всех углов треугольника равна двум прямым (180°). Площадь треугольника S=1/2 ah, где a любая из сторон треугольника, принимаемая за основание, а h соответствующая высота.

Виды треугольника Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия.

Первый признак равенства треугольников. Теорема : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, у которых АС =А 1 С 1, АВ= А 1 В 1 и углы А и А 1 равны. Так как А = А 1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 С 1 и А 1 В 1. Поскольку АС =А 1 С 1 и АВ= А 1 В 1, то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1, а сторона АС – со стороной А 1 С 1 ; в частности совместятся точки В и В 1, С и С 1. следовательно совместятся стороны ВС и В 1 С 1. Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана. Так как А = А 1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 С 1 и А 1 В 1. Поскольку АС =А 1 С 1 и АВ= А 1 В 1, то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1, а сторона АС – со стороной А 1 С 1 ; в частности совместятся точки В и В 1, С и С 1. следовательно совместятся стороны ВС и В 1 С 1. Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана. А С В А1 С1 В1

Второй признак равенства треугольников. Теорема : Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, у которых АВ =А 1 В 1, равны углы А и А 1 и В = В 1. Треугольник АВС наложим на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1, а сторона АВ наложится на равную ей сторону А 1 В 1, а вершины С и С 1 оказались по одну сторону от прямой А 1 В 1. Поскольку угол А =А 1 и угол В= В 1, то сторона АС наложится на луч А 1 С 1, а сторона ВС – на луч В 1 С 1 ; Поэтому вершина С общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей на луче А 1 С 1, так и на луче В 1 С 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С 1. Значит совместятся стороны ВС и В 1 С 1, АС и А 1 С 1. Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана. А С В А1А1 В1В1 С1С1

Третий признак равенства треугольников. Теорема : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, у которых АС =А 1 С 1, АВ= А 1 В 1, и ВС = В 1 С 1 равны. Приложим треугольник АВС к треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1, вершина В совместится с вершиной В 1, а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от А 1 В 1. Луч СС1 пройдет внутри угла. 1)А1В1С1. треугольники А1С1С и В1С1С – равнобедренные (по условию теоремы. т. е. АС =А 1 С 1, АВ= А 1 В 1, и ВС = В 1 С 1.) 1)А1В1С1. треугольники А1С1С и В1С1С – равнобедренные (по условию теоремы. т. е. АС =А 1 С 1, АВ= А 1 В 1, и ВС = В 1 С 1.) 2) Угол 1=углу 2, угол 3=углу4 (по теореме о свойствах угла равнобедренного треугольника), поэтому угол А 1 СВ 1 = углу А 1 В 1 С 1. Следовательно, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана. А В С В1В1 А1А1 С1С1 А1(А) С С1С1 В 1 (В) 12 34

Задача на построение биссектрисы данного угла.

Задача на построение правильного многоугольника вписанного в данную окружность

Задача на построение треугольника по трём отрезкам.