LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна Действительные числа Алгебра и начала математического анализа 10 класс МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития»

LOGO Cодержание Натуральные и целые числа 1 Рациональные числа 2 Иррациональные числа 3 Действительные числа 4 Автор: Семёнова Елена Юрьевна

LOGO Натуральные и целые числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … – ряд натуральных чисел N или (Z + ) -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … – ряд отрицательных чисел Z – …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … – ряд целых чисел Z (Z + и Z – и 0) Автор: Семёнова Елена Юрьевна

LOGO Множества чисел R Q Z N Автор: Семёнова Елена Юрьевна

LOGO Делимость натуральных чисел Автор: Семёнова Елена Юрьевна Для двух натуральных чисел a и b если существует натуральное число q такое, что выполняется равенство a = bq, то говорят, что число a делится на число b. a – делимое b – делитель q – частное a : b = q a b … – а делится на b без остатка

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна 1 о Если a с и с b, то a b. 2 о Если a b и с b, то (a + c) b. Пример: и 12 3, то Пример: 84 3 и 63 3, то ( ) 3. 3 о Если a b и с не делится на b, то (a + c) не делится на b. Пример: 48 3 и 52 не делится на 3, то ( ) не делится на 3. Свойства делимости

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна 4 о Если a b и (a + c) b, то c b. 5 о Если a b и с d, то ac bd. Пример: 48 3 и ( ) 3, то Пример: 81 3 и 56 4, то (8156) (34). 6 о Если a b и с N, то ac bc, и наоборот. Пример: и 11 N, то (4811) (1211), и обратно. Свойства делимости

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна 7 о Если a b и с N, то ac b. 8 о Если a b и с b, то для любых n, k N следует (an + ck) b. Пример: 48 3 и 13 N, то (4813) 3. Пример: 81 9 и 54 9, то ( ) 9. 9 о Среди n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n. Свойства делимости Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 3)

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2. Пример: т.к Признаки делимости Для того, чтобы натуральное число делилось На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5). Пример: т.к На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0. Пример:

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами. Пример: , т.к Признаки делимости Для того, чтобы натуральное число делилось На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами. Пример: , т.к На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами. Пример: , т.к

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами. Пример: , т.к Признаки делимости Для того, чтобы натуральное число делилось На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Пример: , т.к. ( ) 3. На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Пример: , т.к. ( ) 9.

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна На 11: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр, взятых со знаком «+», стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, взятых со знаком «–», стоящих на четных местах, делилась на 11. Пример: , т.к. ( ) 11. Признаки делимости Для того чтобы натуральное число делилось На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13). Пример: , т.к. ( ) 7.

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна Обозначения abcdef = a b c + 100d + 10e + f Пример: 2543 = Пример: =

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна Простые и составные числа Если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют простым числом. Если натуральное число имеет более двух делителей, то его называют составным числом. 1 не является ни простым, ни составным числом. 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, … – составные числа. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … – простые числа.

LOGO Автор: Семёнова Елена Юрьевна Деление с остатком a = bq + r a – делимое b – делитель q – неполное частное r – остаток