Автор: Елена Юрьевна Семёнова МОУ СОШ 5 - « Школа здоровья и развития » г. Радужный

Лемма о коллинеарных векторах Лемма Если векторы а и b коллинеарны и а 0, то существует такое число k, что b = ka Доказательство : Пусть k =. Т. к. k 0, то векторы ka и b сонаправлены. Их длины равны : ka = k a = a = b. Поэтому b = ka. b a b a a b kаkа 1 случай : a b.

Пусть k = –. Т. к. k < 0, то векторы ka и b сонаправлены. Их длины равны : ka = k a = a = b. Поэтому b = ka. Чтд. b a b a Доказательство : a b kаkа Лемма о коллинеарных векторах 2 случай : a b.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Пусть а и b – два данных вектора. Если вектор р представлен в виде р = ха + у b, где х и у – некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а и b. Числа х и у называют коэффициентами разложения.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Теорема Доказательство : р = ха + у b a b ха уbуb р

Координаты векторa р i j O x y A (x; y ) x y р = хi + уj 1 1 р {х; у} 0 = 0i + 0j 0 {0; 0}

Действия над векторами 1.Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. а {х 1 ; у 1 }b {х 2 ; у 2 } а + b { х 1 + x 2 ; у 1 + y 2 } 2.Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. а – b { х 1 – x 2 ; у 1 – y 2 }

Действия над векторами 3.Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. а {х 1 ; у 1 } kа { kх1; kу1 }kа { kх1; kу1 }

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца АВ O x y A( x 1 ; y 1 ) x2x2 y2y2 В( x 2 ; y 2 ) x1x1 y1y1 АВ {х 2 – x 1 ; у 2 – y 1 } OВ {х 2 ; у 2 } OA {х 1 ; у 1 } – АВ = AO + OB = – OA + OB = ОВ – ОА

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Примеры А(5; 3), В(– 2; 4) АВ {– 2 – 5; 4 – 3} АВ {– 7; 1} M(-3; 8), N(0; – 6) MN {0 – (–3); – 6 – 8} MN {3; –14}

Координаты середины отрезка М O x y A( x 1 ; y 1 ) x2x2 y2y2 В( x 2 ; y 2 ) x1x1 y1y1 С х 1 + х 2 2 x = y 1 + y 2 2 y =

Длина вектора O x y A( x; y ) y x а = x 2 + y 2 а

Расстояние между двумя точками O x y A( x 1 ; y 1 ) x2x2 y2y2 В( x 2 ; y 2 ) x1x1 y1y1 АВ = ( x 2 – x 1 ) 2 + ( y 2 – y 1 ) 2 АВ {х 2 – x 1 ; у 2 – y 1 }