BSU Математические модели механики деформированного твердого тела Тема 3 Физические соотношения в теории упругости Часть 1

BSU

3 Некоторые замечания Дифференциальные уравнения равновесия (движения) сплошной среды выполняются при любых непрерывных деформациях (движениях) всех сплошных сред. Различные реальные деформируемые тела при одних и тех же внешних условиях ведут себя по-разному. Таким образом, одних уравнений равновесия с добавлением соответствующих граничных условий, недостаточно для описания движения конкретной сплошной среды. Данная система уравнений не является полной. Тема 3

4 Некоторые замечания То есть для определения напряжений, деформаций и перемещений в твердом деформируемом теле, находящемся под воздействием внешней нагрузки, установленных ранее соотношений (уравнения равновесия, граничные условия, уравнения неразрывности деформаций, уравнения Коши) все же недостаточно. Чтобы построить замкнутую систему разрешающих уравнений, необходимы еще физические определяющие соотношения между напряжениями и деформациями, учитывающие те либо иные особенности поведения материалов. Тема 3

5 Некоторые замечания Полная система уравнений для построения математической модели некоторого механического процесса или явления состоит из: уравнений движения или равновесия сплошной среды; граничных условий; физических соотношений, связывающих напряженное и деформируемое состояния среды. кроме того, необходимо следить за соблюдением условий совместности деформаций. Тема 3

6 Структурные схемы Тема 3 аб в упругая модель Гукавязкая модель вязко-упругая релаксирующая модель г д вязкоупругая модель Кельвина-Фойгта модель Гогенемзера-Прагера е жз модель Пойнтинга-Томпсона жесткопластическая модель упругопластическая модель

7 Структурные схемы Деформирование во времени может быть математически описано путем абстрактного схематического представления деформируемых материалов в виде некоторых моделей из элементарных структурных единиц, каждая из этих единиц представляет собой, например, упругий, пластичный или вязкий элемент. Структурные единицы, обладающие упругими свойствами (закон деформирования Гука) Структурные единицы с вязкими свойствами (закон деформирования Ньютона) Пластические свойства структурных единиц моделируются сухим трением Тема 3

8 Модели упругой среды Дополнительные гипотезы: гипотеза об идеальной упругости материала допущение о линейной зависимости между деформациями и нагрузками (закон Гука) В своем начальном состоянии тело свободно от напряжений, имеет постоянную температуру и находится в термодинамическом равновесии со средой. В естественном состоянии среды тензор напряжений тождественно равен нулю. Для всех других состояний среды в любой точке и в любой момент времени тензор напряжений является взаимно однозначной функцией тензора деформаций. Исходным состоянием при определении тензора деформаций является естественное состояние среды. Тема 3

9 Модели упругой среды Напряженное состояние упругой среды в данный момент времени зависит только от ее деформированного состояния и не зависит от способа перехода от естественного состояния к изучаемому и скорости этого перехода Тема 3

10 Модели упругой среды В линейной теории упругости предполагается, что каждая точка совершает малые перемещения относительно некоторого естественного состояния. Если рассматриваемая среда к тому же является однородной и изотропной, то мы приходим к классической теории упругости. Классическая теория упругости основывается на линейной связи между напряжениями и деформациями и представляет собой линеаризованную теорию поведения упругих сред в окрестности естественного состояния (когда для любой точки вещества смещения и их градиенты относительно некоторого естественного состояния малы). Таким образом, у упругого тела напряжение в каждой точке есть однозначная функция деформации Тема 3

11 Модели упругой среды Путем нагружения или соответственно путем деформирования называется процесс изменения тензора напряжений или тензора деформаций в зависимости от некоторого монотонно возрастающего параметра, который можно назвать «временем». Замечание. На самом деле реальное время при определении модели упругого тела никакой роли не играет. Употребляя этот термин, мы говорим лишь о последовательности событий, но не об их временнóй протяженности. Удельная потенциальная энергия деформации - величина, определяемая как работа, совершаемая при деформации единицы объема тела Тема 3

12 Закон Гука Связь между напряжениями и деформациями для упругого тела описывается законом Гука Обобщенный закон Гука Для изотропных тел соотношения обобщенного закона Гука Тема 3

13 Закон Гука Выражение закона Гука через девиаторные и шаровые составляющие тензоров напряжений Удельная потенциальная энергия деформации = сумме удельной энергии формоизменения (U d ) и удельной энергии изменения объема (U v ) Тема 3

14 Закон Гука Закон Гука для анизотропного материала E ijkl - тензором модулей упругости (тензора четвертого ранга): D ijkl - тензор упругих податливостей Тема 3

15 Закон Гука для анизотропного материала Тензором модулей упругости содержит 81 упругую константу. Доказано: 81 упругая константа 36 констант 21 константа. В общем случае число независимых постоянных для анизотропного тела равно 21. Если упругое тело имеет одну плоскость симметрии упругих свойств, то для него число независимых постоянных сокращается до 13. Для тела, имеющего три взаимно ортогональные плоскости симметрии (ортотропное тело), число постоянных сокращается до 9. Число независимых постоянных для изотропного тела равно двум. Необходимо подчеркнуть, что число постоянных упругости, фигурирующих в законе Гука, сокращается лишь тогда, когда плоскости симметрии приняты за координатные. В других системах координат по- прежнему уравнения будут содержать 21 константу, которые выражаются через девять независимых констант. Тема 3

16 Температурные эффекты Полная линейная деформация ε ii складывается из деформаций от силовой нагрузки и температурного расширения = αT: Температурные добавки для сдвиговых деформаций равны нулю. Закон Гука с учетом температуры Связь шаровых частей тензоров напряжений и деформаций Температура в каждой точке тела должна удовлетворять уравнению теплопроводности B – температуропроводность материала; - количество тепла, производимое источником тепловой энергии в единице объема и за единицу времени ; c – удельная теплоемкость; γ – удельный вес. Тема 3

17 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Часть 2 Тема 3

18 Граничные задачи теории упругости Прямые задачи математической теории упругости: 15 неизвестных функций - u i, σ ij, ε ij (i, j = 1, 2, 3). Уравнения ( 15 линейных уравнений в частных производных) : равновесия (18) соотношения Коши (19) закон Гука (20) Если перемещения не входят явно в число неизвестных, соотношения Коши заменяются условиями совместности деформаций (21) Тема 3

19 Граничные задачи теории упругости Для замыкания системы разрешающих уравнений необходимо добавить условия на границе (граничные условия). Поверхность тела S можно представить состоящей из двух частей: S = S σ + S u. Граничные условия в каждой точке поверхности (например) (22) на S u на S σ Итак, в общем случае задача теории упругости состоит в решении уравнений (18)–(21) при граничных условиях (22). Тема 3

20 Постановка задач теории упругости в перемещениях Если в уравнения равновесия в напряжениях (18) подставить закон Гука (20) и исключить деформации с помощью соотношений Коши (19), получим систему из трех дифференциальных уравнений с тремя неизвестными функциями u i - уравнения Ламе: Уравнения Ламе широко используются во многих методах решения задач теории упругости, так как при этом не нужны уравнения совместности деформаций, которые в данном случае удовлетворяются тождественно. Тема 3

21 Постановка задач теории упругости в перемещениях Первая г.з.: Определение напряжений и перемещений внутри упругого тела в состоянии равновесия, если на поверхности (S = S u ) тела известны перемещения точек. Определить упругостатическое состояние среды или Дополнительное условие, если область содержит бесконечно удаленную точку Тема 3

22 Постановка задач теории упругости в перемещениях Вторая г.з.: Определение напряжений и перемещений внутри упругого тела в состоянии равновесия, если на поверхности (S = S σ ) тела известно распределение усилий. Определить упругостатическое состояние среды или Замечание. Во второй граничной задаче перемещения определяются с точностью до смещения тела как жесткого целого. Следует обратить внимание на условия существования единственного решения. Например, при построении разрешающей системы следует учесть или неподвижность окрестности некоторой фиксированной точки М, или неподвижность плоскости в случае симметрично деформируемых тел, вытекающую из равенства перемещений граничных точек, и т.д. Тема 3

23 Постановка задач теории упругости в перемещениях Третья (смешанная) г.з.: Определение напряжений и перемещений внутри упругого тела в состоянии равновесия, если на части поверхности (S = S u ) тела известны перемещения точек, а на другой части поверхности (S = S σ ) тела известно распределение усилий. Замечание. Во второй и смешанной задачах теории упругости для конечной области краевые условия должны быть дополнены условиями разрешимости этих задач, которые состоят в требовании самоуравновешенности приложенной нагрузки. Для смешанной задачи к приложенной нагрузке на S σ необходимо добавлять неизвестные усилия, действующие на S u Тема 3

24 Однородная задача теории упругости Однородная задача т.у. - когда объемные силы можно принять равными нулю. Решение задачи линейной т.у. можно представить как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения для случая наличия соответствующих объемных/массовых сил. Свойства перемещений для однородного уравнения ( F i = 0). 1) 2) Объемная деформация в упругом изотропном теле при отсутствии массовых сил является гармонической функцией. Компоненты вектора перемещений - бигармонические функции от координат. Тема 3

25 Постановка задачи теории упругости в напряжениях Разрешающая система уравнений задачи в напряжениях состоит из: трех уравнений равновесия в форме Коши; шести уравнений совместности деформаций; шести соотношений закона Гука Всего 15 уравнений относительно 12 неизвестных К системе присоединяются еще граничные условия. Теорема единственности задачи в напряжениях при таком подходе была доказана А. Н. Коноваловым, а существование решения есть следствие общих теорем теории упругости. Тема 3

26 Постановка задачи теории упругости в напряжениях Исключая деформации из уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций с помощью закона Гука, получаем для определения неизвестных компонент тензора напряжений такую систему: (*) Система (*), как и ранее, является переопределенной системой уравнений (шесть неизвестных, удовлетворяют девяти уравнениям трем уравнениям равновесия первого порядка и шести уравнениям Бельтрами-Мичелла второго порядка). Тема 3

27 Постановка задачи теории упругости в напряжениях (1) (2) При выводе уравнений Бельтрами-Мичелла (2) используются уравнения равновесия (1). Поэтому уравнения (2) всегда удовлетворяются, если в качестве, взять решения системы (1). Обратное не всегда справедливо, поскольку использованное при выводе уравнений Бельтрами-Мичелла дифференцирование уравнений (1) привело к расширению класса функций. Поэтому уравнения равновесия (1) обязательно должны привлекаться к решению задач т. у. в напряжениях, чтобы выделять из класса решений уравнений Б.-М. те, которые приводят к физически оправданным НДС твердых тел. Тема 3

28 Выделение базовой системы уравнений 1 система. В качестве базовой (разрешающей) системы - уравнения Б.-М. и удовлетворяя уравнениям равновесия на границе: 2 система. С истема, состоящая из трех уравнений равновесия и трех уравнений Бельтрами-Мичелла относительно касательных компонент тензора напряжений: Тема 3

29 Постановка задачи теории упругости в цилиндрической системе координат Цилиндрические координаты r, φ, z. С вязь с декартовыми координатами Компоненты вектора перемещений Компоненты тензора деформаций Тема 3

30 Постановка задачи теории упругости в цилиндрической системе координат Кинематические соотношения Коши Закон Гука, …,, …, Уравнения равновесия в напряжениях Тема 3

31 Постановка задачи теории упругости в сферической системе координат Сферические координаты R, φ, ϑ. С вязь с декартовыми координатами Компоненты вектора перемещений Компоненты тензора деформаций Тема 3.

32 Постановка задачи теории упругости в сферической системе координат Кинематические соотношения Коши Закон Гука, …,, …, Уравнения равновесия в напряжениях Тема 3

33 Плоская задача теории упругости Плоское деформированное состояние Соответствует формированию НДС в длинном призматическом теле (с продольной осью координат z ), нагруженном поверхностными силами, не зависящими от z и не имеющими составляющей вдоль этой оси Перемещения в декартовой системе координат Тема 3

34 Плоское деформированное состояние Деформации (Д) Условие совместности деформаций (С) Ненулевые компоненты тензора напряжений - σ xx, σ xy, σ yy, σ zz. Обобщенный закон Гука Тема 3,

35 Плоское деформированное состояние При плоской деформации тела число независимых компонентов тензора напряжений равно трем: из закона Гука при условии ε zz =0 следует Уравнения равновесия (Р) Уравнения равновесия в перемещениях (уравнения Ламе) Уравнения совместности в напряжениях (уравнения Бельтрами– Мичелла) Тема 3

36 Плоское напряженное состояние Речь идет о плоском упругом теле малой толщины (пластине), которое нагружается только силами в своей плоскости, причем нормальные напряжения в направлении толщины отсутствуют При плоском напряженном состоянии в плоскости x, y имеются следующие ненулевые компоненты тензора напряжений Тема 3

37 Плоское напряженное состояние Компоненты перемещений u, v и w не зависят от координаты z. Кинематические уравнения соответствуют уравнениям (Д) для плоского деформированного состояния, условия совместности – уравнению (С), уравнения равновесия – уравнениям (Р). Различие между плоским деформированным и плоским напряженным состояниями проявляются при рассмотрении деформаций, например в законе Гука Плоское напряженное состояние реализуется не точно, а лишь приближенно в достаточно тонких пластинах Тема 3

38 Плоское напряженное состояние Обобщенное плоское напряженное состояние Предполагается: симметричное распределение приложенных сил относительно срединной плоскости пластины; напряжения σ zz в пластине отсутствуют, а σ zx и σ zy на внешних поверхностях пластины равны нулю. Тогда для перемещений и напряжений вычисляются их средние значения по толщине пластины, например Тема 3

39 Плоское напряженное состояние Уравнения совместности в напряжениях уравнение совместности деформаций ( ) & закон Гука ( ……) & уравнения равновесия ( ) Сумма напряжений является гармонической функцией Тема 3

40 Функция напряжений Эри При отсутствии массовых сил уравнения равновесия тождественно удовлетворяются введением функции напряжений в соответствии с формулами Ф(x,y) – функция Эри Основное дифференциальное уравнение для определения функции Эри Функция Эри удовлетворяет бигармоническому уравнению Тема 3

41 Функция напряжений Эри Известны многочисленные частные решения бигармонического уравнения, каждое из которых соответствует определенному напряженному состоянию, удовлетворяющему уравнениям равновесия и совместности. Например:,. Основная трудность процесса построения решения состоит в подборе функций, удовлетворяющих граничным условиям. Наложением их были решены многочисленные задачи теории упругости, имеющие большое практическое значение. Однако общего решения бигармонического уравнения не существует и отсутствуют также общие методы его решения. Для того чтобы замкнуть математическую краевую задачу по определению функции Эри, необходимо выразить через нее граничные условия и перемещения. Тема 3

42 Учет нелинейных эффектов и малых возмущений определяющих механических характеристик Учет нелинейных эффектов и малых возмущений определяющих механических характеристик Часть 3 Тема 3

43 Перспективными и эффективными могут быть подходы, позволяющие свести нелинейные задачи к псевдоупругим. Рассматривается подход, позволяющий осуществлять учет малых возмущающих эффектов свойств и характеристик материалов по отношению к однородным упругим средам Тема 3

44 Решение задач для физически нелинейной упругой среды методом возмущения линейно-упругих свойств Рассматриваются задачи пространственной теории упругости, которые по классификации В.В. Новожилова являются нелинейными физически, но линейными геометрически (удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей) Тема 3 1 линейная зависимость с мягкой характеристикой; 2 линейная зависимость с жесткой характеристикой

45 Решение задач для физически нелинейной упругой среды методом возмущения линейно-упругих свойств Соотношения между напряжениями и малыми упругими деформациями для однородного изотропного тела в соответствии с физически нелинейной теорией имеют следующий вид (1) K модуль объемного сжатия; средняя объемная деформация; интенсивность деформации сдвига; и - соответственно функции удлинения и сдвига. (2) Постоянные и определяются экспериментально. Пример. Для большинства геоматериалов функции удлинения и сдвига с достаточной степенью точности могут быть выражены в форме Тема 3

46 Решение задач для физически нелинейной упругой среды методом возмущения линейно-упругих свойств Тема 3 Представим соотношения (1) в виде (3) При уравнения (3) переходят в линейные, а при в нелинейные уравнения состояния (1). Функция возмущений характеризует отклонение физически нелинейных соотношений (3) от уравнений закона Гука (4) Используя (3) и уравнения равновесия в напряжениях имеем: (5)

47 Решение задач для физически нелинейной упругой среды методом возмущения линейно-упругих свойств Тема 3 Процедура решения: (1) (5) & Представляем рядами по степеням параметра : (6) (6) & (5): Граничные условия в n-м приближении После определения деформации и напряжения определяем по формулам:

48 Решение задач для физически нелинейной упругой среды методом возмущения линейно-упругих свойств Тема 3 В соответствии с описанной процедурой были выполнены модельные исследования по изучению влияния физической нелинейности (по сравнению с линейными задачами) на НДС массивов, представленных соляными породами. В результате расчетов установлено, что при учете физической нелинейности деформационных процессов соляных пород снижается концентрация напряжений в окрестности подземных выработок, в то же время увеличиваются значения перемещений по нормали к контуру выработки. Однако количественные изменения в характеристиках НДС достигают таких значений, что весьма эффективным при решении прикладных задач геомеханики является не решение задач в постановке физически нелинейных сред, а рассмотрение линейных задач с учетом нелинейности путем ввода поправочных коэффициентов.

49 Решение задач для ортотропных сред методом возмущения изотропных упругих свойств Тема 3 Рассматривается упругое однородное тело, для которого связь между напряжениями и малыми деформациями описывается соотношениями (1) Для ортотропного тела (2) ( ) (3) характеризуют отклонение упругих свойств ортотропного тела от свойств изотропной среды: При соотношения (2) переходят в уравнения (3) для изотропной среды, а при - в уравнения (1) обобщенного закона Гука для ортотропной среды.

50 Решение задач для ортотропных сред методом возмущения изотропных упругих свойств Тема 3 Процедура решения: Представляем компоненты НДС рядами Алгоритм подобен алгоритму для предыдущей задачи

51 Решение задач для ортотропных сред методом возмущения изотропных упругих свойств Тема 3 В соответствии с описанной процедурой были выполнены модельные исследования для массивов соляных пород. В результате расчетов установлено, что учет ортотропии поведения массива не вносит существенных качественных изменений в картину распределения напряженно- деформированного состояния пород в окрестности подземных выработок. Наблюдаются главным образом количественные изменения в характеристиках напряженно-деформированного состояния, но в таких масштабах, что при решении прикладных задач геомеханики их можно практически не учитывать, особенно в случаях, когда различие в механических характеристиках по направлениям не превышает величин до 1.4 раза. Кроме того, установлено, что данный метод возмущения изотропных упругих свойств позволяет находить решения с наибольшей степенью точности для ортотропных тел с упругими свойствами, незначительно отклоняющимися от свойств изотропной среды.