ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (С4) ЕГЭ-2010

В Δ АВС высота СН и медиана СК делят угол АСВ на три равные части. Отрезок СО, где О – центр вписанной окружности, равен. Найти площадь Δ АВС. (Лысенко, 2010, вариант 13) Дано: СН – высота, СК – медиана, СО= Найти: площадь Δ АВС. А С DO МВ К Н

Решение: 1. Δ АСН = Δ КСН по катету и острому углу, значит, АН=НК, АС=СК,. Пусть АН=a, тогда АК=КВ=2а. 2. Построим, Δ СКН= Δ СКМ по гипотенузе и острому углу, значит НК=КМ=а, 3. - прямоугольный, в нем КВ=2а, КМ=а, Значит, 4. СО – биссектриса АО – биссектриса ОD=R,

5. - прямоугольный, равнобедренный 6. - прямоугольный, 7. Рассмотрим Ответ:

На стороне АВ квадрата АВСD построен треугольник АВК. Биссектрисы и этого треугольника пересекаются в точке О так, что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Найти площадь квадрата ABCD, если АК=3, ВК=5. (Лысенко, 2010, вариант 20) Дано: АВСD – квадрат,, - биссектрисы АК=3, ВК=5. Найти: К В С D A О А1 В1

Решение: 1. Рассмотрим Пусть, тогда 2. Рассмотрим, По свойству внешнего угла треугольника. Рассмотрим, 3. Так как около можно описать окружность, то

4. Рассмотрим, в нем – внешний угол, значит, 5. Рассмотрим По теореме косинусов 6. Ответ: 49

Окружности с центрами и пересекаются в точках А и В. Известно, что,,. Найдите радиусы окружностей. Дано: Найти: R, r A B О2О2 О1О1 К

Решение: 1. Рассмотрим - равносторонний, 2. Рассмотрим - прямоугольный, равнобедренный, тогда 3. Рассмотрим - прямоугольный, Значит, 4. Рассмотрим - прямоугольный, Значит,,,

5. 6. Но в условии не сказано, как расположены центры окружностей относительно АВ, поэтому существует второй случай, когда. Тогда

В параллелограмме АВСD АВ=a, BC=b,. Найти расстояние между центрами окружностей, описанных около и. Дано: ABCD-параллелограмм, АВ=а, ВС=в, Найти: О1О1 О2О2 А ВС D К

Решение: 1. Рассмотрим по теореме косинусов найдем BD 2. По следствию из теоремы синусов 3. Пусть и - центры описанных около треугольников BCD и DAB окружностей, тогда

4. - прямоугольный, по теореме Пифагора Необходимо поставить знак модуля, так как не указано в условии какой угол BAD – острый или тупой. Ответ:

На боковых сторонах AB и CD трапеции с основаниями AD и BC отмечены точки P и Q соответственно, причем PQIIAD. Прямая PQ разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 1:2. Найдите PQ, если АD= a и ВС=b. Дано: ABCD- трапеция, PQIIAD АD= a, ВС=b Найти: PQ A P B M C Q D

Решение: 1.Дополнительное построение, продолжение АВ и CD до пересечения в точке М. Пусть, PQ=c, причем a> b. 2.Рассмотрим ~ по двум углам (1) 3.Рассмотрим ~ по двум углам (2)

4. Подставим в (1) Второй случай: когда a

Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите угол МВС Дано: Δ АВС АН – высота, ВМ- медиана, ВМ=АН Найти: А В Н С М

1.В Δ АВС, ВМ=АН=а, 2.По свойству медианы 3.

Если Δ АВС – тупоугольный, то Ответ :

Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами AB=36, CD=34 и верхним основанием BC=10. Известно, что. Найдите BD. Дано: ABCD- трапеция, AB=36, CD=34 BC=10 Найти: BD А В Р С D K II случай I случай А ВС РD К N

Решение: 1.Так как, то 2.Рассмотрим 3.Рассмотрим по теореме Пифагора 4. Рассмотрим по теореме косинусов

Второй случай 5. Из первого случая возьмем значения совпадающих элементов: Т.к. DK=CN=2, то AD=AP+PD=20 6. Рассмотрим по теореме косинусов Ответ: 36 или

Трапеция с основанием 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. Дано: ABCD – трапеция, AD=40, BC=14 R=25 Найти: ВК I случай В А К О Н С D N II случай А В NС К Н D О

Решение: 1.Так как трапеция вписана в окружность, то 2.По свойству односторонних углов - равнобедренная трапеция. 3.ВК – высота, АК=(40-14):2=13 4.КН=НМ, ВN=NC по построению, значит NC=7, HD=20. 5.Рассмотрим - прямоугольный, OC=R=25, CN=7, по теореме Пифагора получаем ON=24.

6.Рассмотрим - прямоугольный, OD=R=25, DH=20, по теореме Пифагора находим OH=15. 7.В первом случае BK=ON-OH=9. 8.Во втором случае BK=ON+OH=39. Ответ: 9 или 39.

Литература: 1.Математика. Типовые тестовые задания ЕГЭ: под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко; изд-во Экзамен.-М., Л.Д.Лаппо, М.А.Попов. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ; изд-во «Экзамен».-М., Математика подготовка к ЕГЭ под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова; изд-во «Легион- М».- Ростов-на-Дону, Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. под ред. М.И.Сканави; изд-во «Альянс- Б».-М., В.М.Говоров, П.Т.Дыбов, Н.В.Мирошин, С.Ф.Смирнов. Сборник конкурсных задач по математике; изд-во «Наука».-М., Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика; под ред. А.Л.Семенова, И.В. Ященко.-М.:АСТ: Астрель, 2010.