Признаки равенства треугольников. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства. (Обобщающий урок) 7 класс

Медиана треугольника Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Любой треугольник имеет три медианы. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Высота треугольника Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Любой треугольник имеет три высоты. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке

Биссектриса треугольника Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Любой треугольник имеет три биссектрисы. Биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны

Теорема: У равнобедренного треугольника углы при основании равны

ТЕОРЕМА: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой (аналогично для медианы и высоты)

Первый признак равенства треугольников (по двум соответственным сторонам и углу между ними) А ВА В С

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) В С А АВ С

А В СА В с Третий признак равенства треугольников ( по трем сторонам)

Задача 1 Доказать, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. В Дано: ΔАВС, ВМ медиана, высота. Доказать: АВ=ВС А С М

Доказательство: 1. Рассмотрим ΔАВМ и ΔСВМ: т.к. ВМобщая сторона, АМВ = СМВ = 90 (ВМвысота), сторона АМ треугольника АВМ равна стороне СМ треугольника СВМ ( ВМ медиана) Следовательно, ΔАВМ= ΔСВМ по первому признаку равенства треугольников.

Задача 2 Отрезки КМ и LN пересекаются в точке О середине этих отрезков. 1) Доказать, что треугольник KOL равен треугольнику MON. 2) Найти KL, если NM = 12 см. N M K L O

Дано: KMNL в т. О, КО=ОМ, LO=ON. 1) Доказать, что ΔKOL=ΔMON 2) Найти KL, если NM=12 см.

1) Доказательство: Так как KO=OM, LO=ON по условию задачи, а KOL = MON как вертикальные углы, следовательно, KOL= NOM по первому признаку равенства треугольников ( по двум сторонам и углу между ними)

2) Решение: Так как треугольники KOL и NOM равны, следовательно, равны и соответствующие стороны и соответствующие углы этих треугольников. Значит КL= NM = 12 см. Ответ: 12 см.

Задача 3 Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры МН и РК к прямой, равны. Точка О середина отрезка НК. 1) Доказать, что ОМР= ОРМ. 2) Найти

а МР О К Н 110 Дано: МН а, РК a, МН = РК,

Решение: 1. Рассмотрим ΔМОН и ΔРОК: МН=РК, НО=ОК по условию задачи,

Значит, МО=ОР, т.е. треугольник МОР равнобедренный. А у равнобедренного треугольника углы при основании равны ( по теореме). Значит

Задача 4 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС= 20 см, отрезок АМ медиана. Угол ВАС равен 74. Найти

Решение: 1.Так как медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой, следовательно, АМбиссектриса, высота. Значит,

Задача 5 Два отрезка СВ и ТР пересекаются в точке О так, что она является серединой отрезка СВ, углы ОВР и ОСТ равны. 1) Докажите, что треугольник ТСО равен треугольнику РВО. 2) Найдите ОР, если ОТ=15 см. С В Р Т О

Решение: 1) Так как СО=ВО, углы ОСТ и ОВР равны (по условию задачи), угол ТОС равен углу ВОР (вертикальные углы), следовательно, ΔТСО=ΔРВО по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). 2) Из равенства треугольников следует, что ОР=ОТ= 15 см. Ответ: 15 см.

Задача 6 Равные отрезки АС и ВD пересекаются в точке О так, что АВ= СD. Докажите, что углы САD и ВDА равны. В D С А О

Решение: Рассмотрим треугольники АВD и DСА: АВ=СD, АС=ВD по условию задачи, АD общая сторона, следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников ( по трем сторонам). Значит, углы САD и ВDА равны.

Задача 7 Дано : Δ АВС равнобедренный, СD – медиана, т. М взята на продолжении медианы. Доказать: ΔАВМ – равнобедренный. С D М В А

Доказательство: Рассмотрим ΔАМD и ΔВМD: т. к. СD медиана, значит, СDвысота (ΔАВС равнобедренный), следовательно,

Задача 8 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы АА и СС пересекаются в точке О. Найдите среди образовавшихся треугольников два равных треугольника с общим углом В и докажите их равенство.

А С В О СА

В С А D 12 Дано: ВD биссектриса угла АВС,

ВС А D Дано: АО=DО,

А В DС Доказ ать: АВD=CBD

Доказать:KLM=KNM К L M N

M K P N Доказать: МКN=NPK

А В С Доказать: АВС- равнобедренный 110 ° 70°

А С Е В D Доказать: АВС- равнобедренный