Элементы теории вероятностей. ПСТБУ 2005

Цели и задачи работы Сдать зачет по математике и информатике. Продемонстрировать общее понимание теории вероятностей и её основных элементов Докладчик: Белавский Вадим Аркадьевич, 117 группа.

Темы для обсуждения Основные понятия теории вероятностей Операции над со бытиями Виды случайных событий Относительная частота и её свойства Свойства относительной частоты Определение вероятностного пространства Аксиоматика теории вероятностей Классическое определение вероятности Основные формулы комбинаторики

Основные понятия теории вероятностей Испытание - реализация определённого комплекса условий, который может быть повторён неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания. Например: подбрасывание монеты – это испытание. Событие – результат испытания Элементарное событие - конкретный результат испытания Пространство элементарных событий – совокупность элементарных событий Сложное событие - произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытания произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Например: в результате испытания – подбрасывания кубика – элементарным событием может быть выпадение цифры 5, сложным событием – выпадение нечётной грани.

Основные понятия теории вероятностей События можно разделить на три вида: 1. Достоверное событие – это событие, которое всегда происходит в результате испытания. Например: если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 25С, то событие вода в сосуде находится в жидком состоянии является достоверным. 2. Невозможное событие – это событие, которое никогда не происходит в результате испытания. Например: если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 25С, то событие вода в сосуде находится в твёрдом состоянии заведомо не произойдёт, а, следовательно, является невозможным. 3. Случайное событие – может произойти либо не произойти в результате испытания. На практике необходимо количественно оценивать случайные события, прогнозировать их течение. Решением возникающих при этом вопросов и созданием общей математической теории занимаются две математические дисциплины – теория вероятностей и математическая статистика. Теория вероятностей не ставит перед собой цель дать ответ на вопрос, появится данное событие или нет в единичном испытании.

Предмет теории вероятностей Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Операции над со бытиями. Сумма событий (А+В или А В) Событие С называется суммой (или объединением) событий А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в А, так и в В. Причём если элементарное событие входит и в А, и в В, то в С оно входит только один раз Обозначения на диаграмме Эйлера-Венна: множество всех элементарных событий А(В) –множество элементарных событий, входящих в событие А(В) А АВА+В Таблица читается по строкам. Например: последняя строка будет читаться так: если наступает А и наступает В, то наступает и А+В. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных исходов, входящих в хотя бы одно из рассматриваемых событий. Другими словами, сумма любого множества событий есть событие, которое наступает в тех и только тех случаях, когда наступает хотя бы одно из событий данного множества.

Операции над со бытиями. Произведение событий (АВ или АВ). Событие С является произведением событий А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в А, и в В. Событие С обозначается как А×В или АВ. Операция произведения двух событий соответствует операции произведения (пересечения) множеств и операции конъюнкции высказываний. АВА+В Произведение любого множества событий определяется как совместное наступление всех событий из данного множества. Например: если в испытании с игральной костью за событие А принять выпадение чётного числа очков, а за событие В – нечётное, то событие АВ будет равно пустому множеству ().

Операции над со бытиями. Разность событий (АВ). Разностью событий А и В называется событие С (С=А-В), состоящее из всех элементарных событий входящих в А, но не входящих в В. АВА-В Например, если в опыте с бросанием игральной кости событие А – это выпадение нечетного числа, а событие В – выпадение числа, большего 4, то событие А-В будет означать выпадение чисел 1 и 3.

Операции над со бытиями. Противоположное событие (А). По определению событие А наступает тогда и только тогда, когда событие А не наступает. А А Операция перехода к противоположному событию соответствует операции отрицания для высказываний и операции дополнения множества А до множества (универсального множества).

Виды случайных с обытий. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Несовместные события никогда не могут произойти в результате одного испытания. Пример. Брошена монета. Появление герба исключает появление цифры. События появился герб и "появилась цифра – несовместные. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появление хотя бы одного из них, т. е. появление хотя бы одного события из полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Два противоположных события образуют полную группу. Пример. Приобретены два лотерейных билета. Обязательно произойдёт одно и только из следующих событий: выигрыш выпал на оба билета, выигрыш выпал только на первый билет, выигрыш выпал только на второй билет, на оба билета выигрыш не выпал. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события, если предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие надписи о числе очков не оказывает влияние на выпадение той или иной грани.

Относительная частота и её свойства Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2 m событий – множество всех подмножеств пространства элементарных событий и невозможное событие V. Пример. 1, 2, 3 А 1 =V А 2 =( 1 ) А 3 =( 2 ) А 4 =( 3 ) А 5 =( 1, 2 ) А 6 =( 2, 3 ) А 7 =( 1, 3 ) А 8 =( 1, 2, 3 ) Обозначим систему этих событий через F. Берём произвольное AF. Проводим серию из n испытаний. Допустим, что n А – это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие А. Относительной частотой наступления события А в n испытаниях называется число

Относительная частота и её свойства. Пример. Отдел технического контроля обнаружил четыре нестандартных детали в партии из 90 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей в данном случае равна: Задача. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Решение. Известна относительная частота W и число попаданий n. Требуется найти число попаданий m. По определению относительной частоты: Следовательно, число попаданий равно: m =W n = 0, = 102.

Мнения о происходящем… Бывает, что во время урока математики, когда даже воздух стынет от скуки, в класс со двора влетает бабочка… А.П. Чехов «Если бы только удалось преодолеть то недоверие, с которым весьма многие под влиянием случайных школьных впечатлений сторонятся всего, что связано с математикой, то людей, склонных «импровизировать» в области несложных произведений математического искусства, оказалось бы не меньше, чем активных любителей музыки». Г.Радемахер,О.Теплиц «Числа и фигуры »

Свойства относительной частоты 1) Значение относительной частоты заключено в промежутке от нуля до единицы: 2) Относительная частота достоверного события равна единице : W n (U)=1. 3) Относительная частота суммы попарно несовместных событий равна сумме относительных частот.

Свойства относительной частоты Рассмотрим систему A i, I = 1,..., k; события попарно несовместны, т.е. Пусть событие, тогда В другой записи, если А = А 1 + А 2 + … + А k, то: W(A) = W(A 1 ) + W(A 2 ) + … + W(A k ). Доказательство: Пусть в результате некоторого испытания произошло некоторое событие A i. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие A j (i ¹ j) в этом испытании произойти не может. Следовательно: n A = n 1 + n n k (n i – это количество испытаний, в которых произошло событие i)

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота проявляет свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота испытания изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Пример. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появлений герба. Результаты испытаний занесены в таблицу. Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5 – тем меньше, чем больше число испытаний. Свойства относительной частоты Число бросаний Число появлений герба Относительная частота , , ,5005 Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: для любого события A относительная частота наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A. Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это относительная частота наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.

Определение вероятностного пространства. Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий. Все события из системы называются наблюдаемыми. Введём предположение, что если события А, В наблюдаемы, то наблюдаемы и события Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B F выполняются условия 1.) Дополнения: 2.) Все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре. 3.) Все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре. 4.) Все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре. Таким образом, систему мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений.

Определение вероятностного пространства. Пусть задана некоторая непустая система подмножеств пространства элементарных событий. Условимся называть систему S -алгеброй подмножеств, если выполняются следующие условия; 1.) алгебра содержит достоверное событие: U 2.) вместе с любым событием -алгебра содержит и противоположное ему событие: 3.) вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит и их объединение: Если А 1,А 2,…A n F, то F Условия 1-3 часто называют аксиомами алгебры. Вероятностное пространство (вероятностная схема) включает в себя три объекта словия 1-3 часто называют аксиомами алгебры. Вероятностное пространство (вероятностная схема) включает в себя три объекта (,,Р): - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;алгебра, заданная на системе возможных событий в результате проводимых испытаний; 3) функция Р(А), определённая на алгебре событий и удовлетворяющая трём аксиомам теории вероятностей. Теория вероятностей как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.

Аксиоматика теории вероятностей 1) Каждому событию поставлено в соответствие число. Число P(A) называется вероятностью наступления события A. Число P(A) называется вероятностью наступления события A. 2) Вероятность достоверного события равна 1: Р(U)=1. Пространство элементарных событий - достоверное событие P()=Р(U)=1. 3) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: где k - возможно бесконечное число. Следствие: Вероятность невозможного события равна 0. Доказательство: По определению суммы имеет место неравенство +V=. и V - несовместные события. По третьей аксиоме теории вероятности имеем: P ( +V) = P( ) = P(U) = 1 P( ) + P(V) = P( ) 1 + P(V) = 1 P(V) = 0

Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т. е. ни одному из них нельзя отдать предпочтение до испытания. Тогда где U – достоверное событие, m - количество рассматриваемых равновероятных событий. Возьмем произвольное событие А, состоящее из k элементов. Тогда Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби, числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.

Основные формулы комбинаторики. Множество вместе с заданным порядком расположения его элементов называют упорядоченным множеством. Размещения с повторениями. Пусть М – конечное множество произвольной природы, состоящее из n элементов. Любая строка длиной k, составленная из элементов множества М, называется размещением с повторениями из n элементов по k. В строке (m 1, m 2,…, m k ), где m 1, m 2,…, m k принадлежат М, некоторые элементы могут повторяться. Число размещений с повторениями из n элементов по k зависит только от n и k и не зависит от природы множества М. Число размещений с повторениями равно:

Основные формулы комбинаторики. Перестановки. Пусть М – конечное множество произвольной природы, состоящее из n элементов. Данное множество может быть упорядочено различным образом. Следовательно, существует некоторое число множеств, отличающихся друг от друга только порядком элементов. Каждое из упорядоченных множеств, состоящих из n элементов, называется перестановкой множества М (перестановкой из n элементов). Число перестановок из n элементов обозначают через Р n. Если множество состоит из одного элемента, оно может быть упорядочено единственным способом, поэтому Р 1 = 1. Множество, состоящее из двух элементов: M = {a; b} – может быть упорядочено двумя способами: (a; b) и (b; a). Следовательно, Р 2 = 2 = 1×2 = 2!. Множество, состоящее из трёх элементов: M = {a; b; c) – может быть упорядочено шестью способами: (a; b; c), (a; c; b), (b; c; a), (b; a; c), (c; a; b), (c; b; a). Таким образом, Р 3 = 6 =1×2×3 = 3!. При помощи метода математической индукции можно доказать, что количество перестановок множества из n элементов равно: P n = n!

Основные формулы комбинаторики. Размещения без повторений. Пусть М – конечное множество произвольной природы, состоящее из n элементов. Если k £ n, то можно образовывать различные упорядоченные множества, состоящие из k элементов каждое. Упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов множества М, называются размещениями из n элементов, взятые по k. Два таких размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, или же их порядком. Количество размещений из n элементов, взятых по k, обозначается Если n = k, то В общем случае:

Основные формулы комбинаторики. Сочетания. Пусть М – конечное множество произвольной природы, состоящее из n элементов. Все его k-элементные подмножества называют сочетаниями без повторений из элементов этого множества по k. Их число обозначают Пример. Из множества {a, b, c, d, e} можно составить 10 сочетаний по три элемента в каждом: Из каждого такого сочетания путём различных упорядочиваний можно получить 6 размещений из 5 элементов по 3. Количество всех подмножеств множества М, каждое из которых содержит по k элементов, равно:

КОНЕЦ и Слава БОГУ! и Слава БОГУ!