Подготовка к ЕГЭ. Основы Логики Выполнила: Гусева Л. А. учитель МОУ «СОШ 17»
Типы задач &Определить истинность высказывания &Определить равносильны ли выражения &Решить уравнение &Найти значение переменной &Решить задачу &Установить соответствие выражения таблице истинности
Определить истинность высказывания ( )Для какого числа Х истинно высказывание: 92 ¬((Х>3) (X>4))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 94 ((Х>3) V (X4) V ((X>1) (X>4))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Решение: Способ 1 Поочередно подставляем значения X в высказывание: 1) ¬((1>3) (1>4)) = ¬(ложь ложь) = ¬(истина) = ложь; 2) ¬((2>3) (2>4)) = ¬(ложь ложь) = ¬(истина) = ложь; 3) ¬((3>3) (3>4)) = ¬(ложь ложь) = ¬(истина) = ложь; 4) ¬((4>3) (4>4)) = ¬(истина ложь) = ¬(ложь) = истина. Ответ: 4. Способ 2 По условию ¬ ((Х>3) (Х>4)) = истина, поэтому ((Х>3) (Х>4)) = ложь. Из определения импликации следует, что высказывание (Х>3) истинно, а (Х>4) ложно. Этим условиям из целых чисел удовлетворяет только 4. Ответ: Удобен способ 1 Поочередно подставляем значения X в высказывание: 1) ((1>2) V (1 4) =(ложь V истина) ложь = истина ложь = ложь; 2) ((2>2) V (2 4) =(ложь V ложь) ложь = ложь ложь = истина; 3) ((3>2) V (3 4) =(истина V ложь) ложь = истина ложь = ложь; 4) ((4>2) V (4 4) =(истина V ложь) ложь = истина ложь = ложь; Ответ: Удобен способ 1 Поочередно подставляем значения X в высказывание: 1) ((1>3) V (11) (2>4)) = ложь V (истина ложь) = ложь V ложь = ложь; 3) (3>4) V ((3>1) (3>4)) = ложь V (истина ложь) = ложь V ложь = ложь; 4) (4>4) V ((4>1) (4>4)) = ложь V (истина ложь) = ложь V ложь = ложь; Ответ: ¬((Х>3) (X>4))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 93 ((Х>2) V (X 4)? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 94 ((Х>3) V (X1) (X>4))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
( )Для какого слова истинно высказывание: 96 ¬(Первая буква слова согласная (Вторая буква слова гласная V Последняя буква слова гласная))? 1) ГОРЕ 2) ПРИВЕТ 3) КРЕСЛО 4) ЗАКОН 97 ( Первая буква слова гласная V Пятая буква слова согласная) Вторая буква слова гласная? 1) АРБУЗ 2) ОТВЕТ 3) КРЕСЛО 4) ПРИВАЛ
Решение: 96, ¬(Первая буква слова согласная (Вторая буква слова гласная V Последняя буква слова гласная))? 1 ) ГОРЕ ; 2) ПРИВЕТ; 3) КРЕСЛО; 4) ЗАКОН 1) ГОРЕ: ¬(истина (истина V истина)) = ¬(истина истина) = ¬(истина)= ложь; 2) ПРИВЕТ: ¬(истина (ложь V ложь)) = ¬ (истина ложь) = ¬ (ложь)= истина; 3) КРЕСЛО: ¬ (истина (ложь V истина)) = ¬(истина истина) = ¬(истина)= ложь; 4) ЗАКОН: ¬(истина (истина V ложь)) = ¬(истина истина) = ¬(истина)= ложь; Ответ: (Первая буква слова гласная V Пятая буква слова согласная) Вторая буква слова гласная? 1) АРБУЗ; 2) ОТВЕТ; 3) КРЕСЛО; 4) ПРИВАЛ 1) АРБУЗ: ( истина V истина) ложь = истина ложь = ложь; 2) ОТВЕТ: ( истина V истина) ложь = истина ложь = ложь; 3) КРЕСЛО: ( ложь V истина) ложь = истина ложь = ложь; 4) ПРИВАЛ: ( ложь V ложь) ложь = ложь ложь = истина; Ответ: 4.
Найти значение переменной 103 Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание: (90< Х *Х) (Х < (Х-1)) ? 104 А, В, С - целые числа, для которых истинно высказывание:¬(А=В)&(( А>В) (В >С)) &((В >А) (С >В)) Чему равно В, если А=45, С=43? 105 А, В, С - целые числа, для которых истинно высказывание:¬(А=В)&((В А))&((А 2С)) Чему равно А, если С=8,В=18? 106 Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание: (50 (Х+1)*(Х+1)) ? 107 Укажите значения логических переменных K,L,M,N, при которых логическое выражение: (K V M) (M V ¬L V N) ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K,L,M,N (в указанном порядке). Так, например, строка 0101 соответствует тому, что K=0,L=1,M=0,N= Дано логическое выражение: (M V ¬L V ¬ N) (K V ¬L V ¬ N ). Укажите значения логических переменных K,L,M,N, при которых логическое выражение ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K,L,M,N (в указанном порядке). Так, например, строка 0101 соответствует тому, что K=0,L=1,M=0,N=1.
103 Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание: (90< Х *Х) (Х < (Х-1)) ? Решение: (90< Х *Х) (Х < (Х-1)) = истина (90< Х *Х) (Х < Х-1) = истина (90< Х *Х) (0 < -1) = истина Так как (0 = Х *Х), тогда Х=1,2,3,4,5,6,7,8,9. По условию Х – наибольшее целое, значит Х=9. Ответ: Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание: (50 (Х+1)*(Х+1)) ? Найдем значения Х, при которых высказывание ложно: (50 (Х+1)*(Х+1)) = ложь (только в одном случае) (50 (Х+1)*(Х+1)) = ложь (50< Х *Х) = истина и (50 < = (Х+1)*(Х+1)) = истина Эти два неравенства выполняются одновременно при Х >= 8. Итак, (50 (Х+1)*(Х+1)) = ложь при Х >= 8, значит (50 (Х+1)*(Х+1)) = истина при Х=1,2,3,4,5,6,7. По условию Х – наибольшее целое, значит Х=7. Ответ: 7.
Решение: А, В, С - целые числа, для которых истинно высказывание: ¬(А=В)&(( А>В) (В >С)) &((В >А) (С >В)) Чему равно В, если А=45, С=43? А В = истина (( А>В) (В >С)) = истина ((В >А) (С >В)) = истина учтем, что А В = ¬А V В А В = истина ( А С) = истина (В В) = истина В 45 = истина (45 43) = истина (В В) = истина Введем обозначения: В 45 =М, (45 43) = Н М = истина Т V Н = истина ¬ Т V ¬ Н = истина Составим таблицу истинности Из таблицы видно, что возможны 2 случая: 1)В 45 = истина, (45 43) = истина В 45 = истина, (В 43) = истина, тогда В= 44 2) В 45 = истина, (45 43) = ложь В 45 = истина, (45 В) = истина, а это невозможно. Ответ: 44. МТН¬ Т¬ НТ V Н¬ Т V ¬ НМ & (Т V Н) & (¬ Т V ¬ Н)
105 А, В, С - целые числа, для которых истинно высказывание: ¬(А=В)&((В А))&((А 2С)) Чему равно А, если С=8,В=18? Решение: А В = истина ((В А )) = истина ((А 2С )) = истина учтем, что А В = ¬А V В А В = истина (А А ) = истина (А >= В) V А > 2С ) = истина А 18 = истина (18 > А ) V (16 > А) = истина (18 < А ) V (16 < А) = истина Введем обозначения: А 18 =М, (18 > А ) = Т, (16 > А)= Н М = истина Т V Н = истина ¬ Т V ¬ Н = истина Составим таблицу истинности Из таблицы видно, что возможны 2 случая: 1)А 18 = истина, (18 > А) = ложь, (16 > А) = истина А 18 = истина, (18 А) = истина, а это невозможно. 2) А 18 = истина, (18 > А) = истина,(16 > А) = ложь А 18 = истина, (18 > А) = истина, (16 < А) = истина, тогда А =17. Ответ: 17. МТН¬ Т¬ НТ V Н¬ Т V ¬ НМ & (Т V Н) & (¬ Т V ¬ Н)
Решение: Укажите значения логических переменных K,L,M,N, при которых логическое выражение: (K V M) (M V ¬L V N) ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K,L,M,N (в указанном порядке). Так, например, строка 0101 соответствует тому, что K=0,L=1,M=0,N=1. KLMNK v M ¬L¬L M v ¬L v N (K v M) (M v ¬L v N) Ответ: 1100.
Решение: Дано логическое выражение: (M V ¬L V ¬ N) (K V ¬L V ¬ N ). Укажите значения логических переменных K,L,M,N, при которых логическое выражение ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K,L,M,N (в указанном порядке). Так, например, строка 0101 соответствует тому, что K=0,L=1,M=0,N=1. KLMN¬ N¬LM v ¬L v ¬NK v ¬L v ¬N (M v ¬L v ¬N) ( K v ¬L v ¬N) Ответ: 0111.
Решить уравнение 108 Сколько различных решений имеет уравнение: ((K V L) & (M V N)) = 1, где K,L,M,N - логические переменные? В о твете не нужно перечислять все различные наборы значений K,L,M,N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов. 110 Сколько различных решений имеет уравнение: ((K V L) (L & M & N)) = 0, где K,L,M,N - логические переменные? В о твете не нужно перечислять все различные наборы значений K,L,M,N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.
Решение: Сколько различных решений имеет уравнение: ((K V L) & (M V N)) = 1, где K,L,M,N - логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K,L,M,N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов. KLMNK v LM v N (K v L) & (M v N) Ответ: 9.
Решение: Сколько различных решений имеет уравнение: ((K V L) (L & M & N)) = 0, где K,L,M,N - логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K,L,M,N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов. KLMNK v LL &M& N (K v L) (L &M& N ) Ответ: 10.
Определить равносильны ли выражения ( )Какое логическое выражение равносильно выражению… 98 ¬(А&В) & ¬ С? 1) ¬А V В V ¬С 2) (¬А V ¬ В) & ¬С 3) (¬А V ¬ В) & С 4) ¬А & ¬ В & ¬С 99 ¬(¬А&В) V ¬ С? 1) ¬А V В V ¬С 2) ¬А V ¬ В V ¬С 3) А V ¬ В V ¬С 4) А V В V ¬С 100 ¬А V ¬ (В V С)? 1) ¬А V ¬ В V ¬С 2) А V (В & С) 3) А V В V С 4) ¬ А V (¬В & ¬С ) 101 ¬(¬ А V В) V ¬ С? 1) (А & ¬В) V ¬С 2) А V ¬ В V ¬С 3) ¬А V В V ¬С 4) (¬А & В) V ¬С 102 ¬( А V ¬ В V С)? 1) ¬А V В V ¬С 2) А & ¬ В & С 3) ¬А V ¬ В V ¬С 4) ¬А & В & ¬С
Решение: ¬(А&В) & ¬ С? 1) ¬А V В V ¬С 2) (¬А V ¬ В) & ¬С 3) (¬А V ¬ В) & С 4) ¬А & ¬ В & ¬С Ответ: 2. АВС¬А¬ В¬СА&В¬(А&В)¬(А&В) & ¬ С¬А V ¬ В¬А V В V ¬С(¬А V ¬ В) & ¬С(¬А V ¬ В) & С¬А & ¬ В & ¬С Способ 1: Составить таблицу истинности Способ 2: Преобразовать с помощью законов логики ¬(А&В) & ¬ С = (¬А V¬ В) & ¬ С. Ответ: 2.
99 ¬(¬А&В) V ¬ С? 1) ¬А V В V ¬С 2) ¬А V ¬ В V ¬С 3) А V ¬ В V ¬С 4) А V В V ¬С Решение: ¬(¬А&В) V ¬ С = (¬ (¬ А ) V ¬ В) V ¬ С= А V ¬ В V ¬ С Ответ: ¬А V ¬ (В V С)? 1) ¬А V ¬ В V ¬С 2) А V (В & С) 3) А V В V С 4) ¬ А V (¬В & ¬С ) ¬А V ¬(В V С)= ¬ А V (¬ В &¬ С) Ответ: ¬(¬ А V В) V ¬ С? 1) (А & ¬В) V ¬С 2) А V ¬ В V ¬С 3) ¬А V В V ¬С 4) (¬А & В) V ¬С ¬(¬А V В) V ¬ С = (¬ (¬ А ) & ¬ В) V ¬ С= (А & ¬ В) V ¬ С Ответ: ¬( А V ¬ В V С)? 1) ¬А V В V ¬С 2) А & ¬ В & С 3) ¬А V ¬ В V ¬С 4) ¬А & В & ¬С ¬(А V ¬ В V С) = (¬ А ) & ¬ (¬ В) & ¬ С= ¬ А & В & ¬ С Ответ: 4.
Решить задачу 111 В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда и Рита? Н – 1, М – 2 Л – 2, Р – 4 Р – 3, Н - 2 Только одна часть каждого высказывания истинна Пусть Н – 1= ложь, то М – 2= истина, тогда Л – 2= ложь, а Р – 4= истина, значит Р – 3= ложь, а Н – 2= истина Получаем противоречие Пусть Н – 1= истина, то М – 2 = ложь, тогда Л – 2= истина, а Р – 4=ложь, значит Р – 3=истина, а Н – 2= ложь Противоречия не получаем Ответ: 1,4,2,3.
112 Восемь школьников, остававшихся в классе на перемене, были вызваны к директору. Один из них разбил окно в кабинете. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы: Егор: «Разбил Андрей!». Света: «Вика разбила». Оля: «Разбила Света». Миша: «Это кто-то с улицы!» Надя: «Да, Оля права...» Коля: «Это либо Вика, либо Света!» Андрей: «Ни Вика, ни Света этого не делали». Вика: «Андрей не бил!» Кто разбил окно, если известно, что из этих восьми высказываний истинно ровно три? Ответ запишите в виде первой буквы имени. Имеем высказывания: А В С Кто – то с улицы С В V С ¬ В & ¬ С = ¬(В V С) ¬ А Истинно ровно три Пусть А= истина, то В= ложь С= ложь Кто – то с улицы = ложь С= ложь В V С= ложь ¬ В & ¬ С = ¬(В V С)= истина ¬ А= ложь Получили, что истинно только 2 высказывания, что противоречит условию Пусть А = ложь, а В= истина, то С = ложь, Кто – то с улицы = ложь С = ложь В V С = истина ¬ В & ¬ С = ¬(В V С)= ложь ¬ А= истина Получили, что истинно 3 высказывания, значит, окно разбила Вика. Ответ: В. Пусть А = ложь, В= ложь, а С= истина, Кто – то с улицы = ложь С = истина, В V С = истина ¬ В & ¬ С = ¬(В V С)= ложь ¬ А= истина Получили, что истинно 4 высказывания, что противоречит условию.
113 Восемь школьников, остававшихся в классе на перемене, были вызваны к директору. Один из них разбил окно в кабинете. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы: Соня:«Это сделал Володя». Миша:«Это ложь!» Володя:«Я разбил!» Аня:«Это я разбила!» Оля:«Аня не разбивала!» Рома:«Разбила либо Соня, либо Оля...» Коля:«Девочки этого не делали». Толя:«Коля разбил!» Кто разбил окно, если известно, что из этих восьми высказываний истинно только два? Ответ запишите в виде первой буквы имени. Имеем высказывания: В ¬ В В А ¬ А С V О ¬ А & ¬ С & ¬ О К Истинно ровно два Пусть В = истина ¬ В = ложь В = истина А = ложь ¬ А = истина С V О = ложь ¬ А & ¬ С & ¬ О = истина К = ложь Противоречие с условием, что истинно ровно два. Пусть В = ложь ¬ В = истина А = истина ¬ А = ложь С V О = ложь ¬ А & ¬ С & ¬ О = К V В = ложь К = ложь Противоречие с условием не получили, значит наше предположение верно. Пусть В = ложь ¬ В = истина А = ложь ¬ А = истина С V О = ложь ¬ А & ¬ С & ¬ О = К V В = истина К = истина Противоречие с условием, что истинно ровно два. Пусть В = ложь ¬ В = истина А = ложь ¬ А = истина С V О= истина ¬ А & ¬ С & ¬ О = К V В = ложь К = ложь Противоречие с условием, что истинно ровно два. Ответ: А.
114 Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее: Миша: «Я не бил окно, и Коля тоже...» Коля: «Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!» Сергей: «Я не делал этого, стекло разбил Миша». Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это директор смог докопаться до истины. Кто разбил стекло в классе? В ответе запишите только первую букву имени. Имеем высказывания: ¬ М, ¬ К ¬ М, С ¬ С, М Один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Пусть ¬ М = истина, ¬ К= истина, тогда ¬ М = истина, С = ложь ¬ С = истина, М = ложь Противоречие с условием, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Пусть ¬ М = истина, ¬ К= истина, тогда ¬ М = истина, С = истина, ¬ С = ложь, М = ложь Противоречие с условием, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Ответ: М. Пусть ¬ М = ложь, ¬ К= истина, тогда ¬ М = ложь, С = ложь ¬ С = истина, М = истина Противоречие с условием, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил, не получаем, значит окно разбил Миша.
Установить соответствие выражения таблице истинности ( )Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F? 115 XYZ F )¬X V Y V ¬ Z 2) X & ¬ Y & ¬ Z 3) ¬X & Y & Z 4) X V ¬ Y V Z 116 XYZ F )¬X V Y V ¬ Z 2) X & ¬ Y & ¬ Z 3) ¬X & Y & Z 4) X V ¬ Y V Z 117 XYZ F )¬X V Y V ¬ Z 2) X & Y & ¬ Z 3) ¬X & ¬ Y & Z 4) X V ¬ Y V Z 118 XYZ F )¬X V ¬ Y V ¬ Z 2) X & ¬ Y & ¬ Z 3) X & Y & Z 4) X V Y V Z
Решение ( ) XYZ¬X¬ Y¬ Z¬X V Y V ZX & ¬ Y & ¬ Z¬X & Y & ZX V ¬ Y V Z XYZF )¬X V Y V ¬ Z 2) X & ¬ Y & ¬ Z 3) ¬X & Y & Z 4) X V ¬ Y V Z Ответ: XYZ F )¬X V Y V ¬ Z 2) X & ¬ Y & ¬ Z 3) ¬X & Y & Z 4) X V ¬ Y V Z XYZ¬X¬ Y¬ Z¬X V Y V ¬ ZX & ¬ Y & ¬ Z¬X & Y & ZX V ¬ Y V Z Ответ: 4.
Решение ( ) 117 XYZF )¬X V Y V ¬ Z 2) X & Y & ¬ Z 3) ¬X & ¬ Y & Z 4) X V ¬ Y V Z XYZ¬X¬ Y¬ Z¬X V Y V ¬ ZX & Y & ¬ Z¬X & ¬ Y & ZX V ¬ Y V Z Ответ: XYZF )¬X V ¬ Y V ¬ Z 2) X & ¬ Y & ¬ Z 3) X & Y & Z 4) X V Y V Z XYZ¬X¬ Y¬ Z¬X V ¬ Y V ¬ ZX & ¬ Y & ¬ ZX & Y & ZX V Y V Z Ответ: 4.