Свойства функции. Алгебра и начала анализа, 10 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Все свойства функции, заданной графиком очевидны, если понимать, что они означают. Давайте вспомним все эти понятия…

y x 0

0 x y y=f(x) Пусть графиком функции y = f ( x ) является некоторая гладкая кривая: Область определения функции (обозначается D ( f ) или D ( y )), заданной данным графиком – все возможные абсциссы точек кривой. В нашем случае: D(f) = (или х ( ; + )). Если функция задана в явном виде (формулой), то область определения функции – область допустимых (естественных) значений (ОДЗ) выражения с независимой переменной, которым задается функция. Пример. Найти D ( f ), если.

Решение. Выражение, задающее данную функцию не имеет смысла, если: 1) знаменатель дроби обращается в 0; и 2) подкоренное выражение – отрицательное. Значит: Решая квадратичное неравенство и квадратное уравнение, соответственно получим: 3 3 х + x [ 3; 3] 0 Решением системы, состоящей из этих двух условий является: Ответ: D( f ) =[ 3; 0) (0; 0,5) (0,5; 3]. Примечание. Для определения ОДЗ выражения с переменной Вы должны учитывать следующие условия их существования: 1) дробно-рациональные выражения вида, где P( x ), G( x ) – многочлены n -ой степени определены, если G( x ) 0;

2) выражения вида имеют смысл, если f ( x ) 0; 3)* выражения, содержащие переменную под знаком логарифма должны быть строго положительны, а в основании логарифма еще к тому же не равны единице (*для выпускных классов). 0 x y y=f(x)y=f(x) Область(множество) значений функции (обозначается E ( f ) или E ( y )), заданной данным графиком – все возможные ординаты точек кривой. В нашем случае: E (f)= (или y ( ; + )). Если функция задана в явном виде (формулой), то нахождение области значений функции (если функция Вам не знакома) возможно только после полного исследования и выяснения всех её свойств.

0 x y Пусть графиком функции y = f ( x ) является некоторая гладкая кривая: y=f(x)y=f(x) Очевидно, что D(f)=E(f)=. Обратим свое внимание на значения аргумента x 1, x 2, x 3, x 4 – в этих точках график функции пересекает ось Ох или касается её. Это – так называемые нули функции (ординаты этих точек равны 0, т.е. f( x 1 )= f( x 2 )= f( x 3 )= =f( x 4 ) =0). Аналитически их можно найти, решая уравнение f ( x )=0. х4х4 х3х3 х2х2 х1х1

0 x y y=f(x) Точки x 1, x 2, x 3, x 4 разбивают область определения функции D(f) на промежутки знакопостоянства, т.е. промежутки, на которых функция имеет либо положительные значения (f(x)>0), либо отрицательные (f(x)0, при х (– ; х 1 ) (х 2 ; х 3 ) (х 3 ; х 4 ) и х2х2 х1х1 х3х3 х4х4 f(x)0 (для нахождения промежутков положительности функции) или f(x)

Пример. Найти промежутки знакопостоянства функции. Решение. Решим неравенство методом интервалов. 1) D(f)=, кроме х = – 1; 1. 2) 2 x 2 – x +7=0 x Ø, т.к. D0, при x (-1; 1); f( x )

0 x y y=f(x)y=f(x) х4х4 х3х3 х2х2 х1х1 a bc Рассмотрим точки графика с абсциссами a, b, x 3 и c. Это так называемые точки экстремума, которые бывают двух видов: точки максимума ( x max =b; c ) и точки минимума ( x min =a; x 3 ). Эти точки разбивают D(f) на промежутки возрастания и убывания. В нашем случае: функция f(x) возрастает, при x [ a ; b ], [ x 3 ; c ] и убывает, при x (– ; a ], [ b ; x 3 ], [ c ; + ). Обратите внимание, что точки экстремума включаются как в промежутки возрастания, так и убывания. Определение. Точка х 0 называется точкой минимума функции f, если х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f( x )f( x 0 ). Определение. Точка х 0 называется точкой максимума функции f, если х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f( x )f( x 0 ). Примечание. Под окрестностью точки х 0 понимается любой интервал ( х 0 –ε; х 0 +ε), где ε0.

Распознать точки максимума и минимума по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки максимума выглядят как гладкий холм или заостренная пика: x max x x График функции в окрестности точки минимума выглядят как гладкая или заостренная впадина: x min x x x max –εх max +εx max –εх max +ε x max –εх max +εx max –εх max +ε

Если функция задана формулой, то нахождение точек экстремума связано с применением производной функции. Этот материал Вы будете проходить во втором полугодии 10 класса. Для знакомых с этим понятием напомним, что точки экстремума можно найти среди критических с помощью теоремы Пьера Ферма: если f ( x 0 )=0 или не существует, то х 0 – критическая точка функции y=f( x ), и признаков минимума (максимума) функции: если f ( x 0 )>0, то х 0 – точка минимума функции y=f(x), если f ( x 0 )х 0, то х 0 – точка минимума функции y=f(x), если f (x)>0, при х х 0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x). x f (x) x f(x)f(x) f(x)f(x) + + – – min max x0x0 x0x0