Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составного высказывания, не вникая в их содержание. Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Математический аппарат логики: Вводятся вместо простых высказываний логические переменные: А, В, С и т.д. Например: А= Листва на деревьях опадает осенью. В= Земля прямоугольная. Значения высказываний обозначаются следующим образом: Истина- 1 Ложь- 0 Например: А=1 В=0

НазваниеОбозначение Математическое обозначение Логическое умножение, конъюнкция и &,,/\ Логическое сложение, дизъюнкция или +,\/, | Логическое отрицание, инверсия не Импликация, следование если, то Эквивалентность, равносильность тогда и только тогда

Логические операции – Логические операции – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний

Кран ВКран А КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА? Открыт кран А Открыт кран В И

ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ «Сегодня светит солнце и идет дождь» А = «Сегодня светит солнце»В – «Сегодня идет дождь» Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «и».

ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) Обозначение: &, ^, *. Союз в естественном языке: и. А ^ B – «Сегодня светит солнце и идет дождь» АВА ^ B Таблица истинности Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно из высказываний ложно. Смысл высказываний А и В для указанных значений А ^ B Солнца нетДождь идет Солнце светитДождя нет Солнца нетДождя нет Солнце светитДождь идет Ложь Истина

Кран А Кран В КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА? Открыт кран А Открыт кран В ИЛИ

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ «На стоянке находятся «Мерседес» или «Жигули» А= На стоянке находится «Мерседес» В = На стоянке находится «Жигули» Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «или».

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) Обозначение: +, V. Союз в естественном языке: или. А V B – На стоянке находится «Мерседес» или «Жигули» Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно из высказываний истинно. АВА V B Смысл высказываний А и В для указанных значений А V B «Мерседеса» нет«Жигули» есть «Мерседес» есть«Жигулей» нет «Мерседеса» нет«Жигулей» нет «Мерседес» есть«Жигули» есть Истина Ложь Истина Таблица истинности

ЗАПОМНИ! Д И ЗЪЮНКЦ И Я ИЛИ V ДИЗ – галочка вниз КОНЪЮНКЦ И Я И V КОН – как крыша он

ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ А – «Сегодня светит солнце»В – «Сегодня не светит солнце» Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…». А – «У данного компьютера жидкокристаллический монитор» В – «Неверно, что у данного компьютера жидкокристаллический монитор»

ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) Смысл высказывания А Значение высказывания: «Сегодня не светит солнце» Солнца нет Солнце есть Истина Ложь Обозначение: ¬. Союз в естественном языке: не; неверно, что… А – «Сегодня светит солнце» ¬ А – «Неверно, что сегодня светит солнце» или «Сегодня не светит солнце» А¬ А Инверсия высказывания истинна, если высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно. Таблица истинности

Постройте отрицания следующих высказываний. 1.На улице сухо. 2.Сегодня выходной день. 3.Ваня не был готов сегодня к урокам. ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте их каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание. 1.Число 456 трехзначное и четное. 2.Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. 3.Луна – спутник Земли. 4.На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь. 5.Без Вас хочу сказать Вам много При Вас я слушать Вас хочу.

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ Обозначение:. Союз в естественном языке: если…, то…. Если на улице дождь, то асфальт мокрый. Если горит красный свет на светофоре, то стою и жду зеленый. Если прямо пойдешь, то коня потеряешь. Если коровы летают, то дважды два – пять. Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».

АВА B Импликация двух высказываний ложно тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Смысл высказываний А и В для указанных значений А B Дождя нетАсфальт мокрый Дождь идетАсфальт сухой Дождя нетАсфальт сухой Дождь идетАсфальт мокрый Истина Ложь Истина ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) А – «На улице дождь» В – «Асфальт мокрый» А B – «Если на улице дождь, то асфальт мокрый» Таблица истинности

Обозначение: =,, ~. Союз в естественном языке: тогда и только тогда, когда…. Число А – четное, тогда и только тогда, когда число А делится нацело на 2. Прямоугольник является квадратом тогда и только тогда, когда все его стороны равны. ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «… тогда и только тогда, когда…».

ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ) А – «Число А - четное» В – «Число А кратно 2» А B – «Число А – четное, тогда и только тогда, когда число А кратно 2» АВА B Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Смысл высказываний А и В для указанных значений А B Число нечетноеЧисло кратно 2 Число четноеЧисло не кратно 2 Число нечетноеЧисло не кратно 2 Дождь идетЧисло кратно 2 Ложь Истина Таблица истинности

СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ Инверсия ИСТИННА Тогда и только тогда, когда высказывание ЛОЖНО Дизъюнкция ЛОЖНА Конъюнкция ИСТИННА оба высказывания ЛОЖНЫ ИСТИННЫ Дизъюнкция ИСТИННА Конъюнкция ЛОЖНА хотя бы одно высказывание ИСТИННО ЛОЖНО Импликация ЛОЖНА из истинного высказывания следует ложное высказывание Эквивалентность ИСТИННА оба высказывания ложны или оба высказывания истинны

Упражнение Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте их каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание. 1.Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. 2.Земля– планета Солнечной системы. 3.Если число оканчивается на 0, то оно делится на Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя. 5.Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинения, а пойду на дискотеку. 6.Без Вас хочу сказать Вам много При Вас я слушать Вас хочу. 7.Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны.

ВЫВОД Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание: А В = ¬А v В. Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: А В = (¬А v В) (¬В v А). Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ 1.ИНВЕРСИЯ Ā 2.КОНЪЮНКЦИЯ & 3.ДИЗЪЮНКЦИЯ 4.ИМПЛИКАЦИЯ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки. 1 A B C & D Ā

ПРИМЕР Дана формула 1. Определите порядок вычисления. A (B C) V D Ā

УПРАЖНЕНИЕ Простое высказывание истинности составного высказывания, А истинно, а высказывание В – ложно. Что можно сказать о составном высказывании, которое объединяет эти простые высказывания операцией: логического умножения; логического сложения?

КАКИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ МОЖНО ПРОДЕМОНСТРИРОВАТЬ С ПОМОЩЬЮ СХЕМ? Ключ 1 Ключ 2 ПРОВЕРЬ СЕБЯ Ключ 1Ключ 2