Векторы Напомним, что вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, в котором указаны его начало и конец. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направление. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается и изображается стрелкой с началом в точке А и концом в точке В. Рассматривают также нулевые векторы, у которых начало совпадает с концом. Все нулевые векторы считаются равными между собой. Они обозначаются, и их длина считается равной нулю. Длиной, или модулем, вектора называется длина соответствующего отрезка. Длина векторов, обозначается соответственно | |, | |.

Сложение векторов Для векторов определена операция сложения. Для того чтобы сложить два вектора и, вектор откладывают так, чтобы его начало совпало с концом вектора. Вектор, у которого начало совпадает с началом вектора, а конец - с концом вектора, называется суммой векторов и, обозначается

Свойства сложения векторов Свойство 1. (переместительный закон). Свойство 2. (сочетательный закон).

Пример Сколько различных векторов задают пары вершин параллелограмма ABCD? Ответ: Восемь векторов.

Упражнение 1 Сколько различных векторов задают стороны трапеции ABCD? Ответ: Восемь векторов.

Упражнение 2 Ответ: а) 3 см; В прямоугольнике АВСD АВ = 3 см, ВС = 4 см. Найдите длины векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д). б) 4 см; в) 3 см; г) 5 см; д) 5 см.

Упражнение 3 Ответ: а) 13 см; б) см; в) см. Основание AD трапеции АВСD с прямым углом А равно 12 см, АВ = 5 см, D = 45°. Найдите длины векторов: а) ; б) ; в).

Упражнение 4 Ответ: а) Да; В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ? б) нет; в) да; г) нет.

Упражнение 5 Ответ: а) Да; Точки S и T являются серединами боковых сторон соответственно MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ? б) нет; в) нет. г) да.

Упражнение 6 В треугольнике АВС укажите векторы: а) б) в) г) Ответ: а) ; б) ; в) ; г).

Упражнение 7 На рисунке укажите векторы: а) б) в) Ответ: а) ; б) ; в).

Упражнение 8 А, В, С, D - произвольные точки плоскости. Выразите через векторы,, векторы: а) ; б) ; в). Ответ: а) ; б) ; в).

Упражнение 9 Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Найдите: а) ; б) ; в). Ответ: а) a; б) ; в).

Упражнение 10 Ответ: а) 14; б) 10; в) 14; г) 10. В треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 8, B = 90°. Найдите: а) ; б) ; в) ; г).

Упражнение 11* Стороны треугольника ABC равны a, b, c. O – точка пересечения медиан. Найдите сумму векторов Решение: Продолжим медиану CC 1 и отложим отрезок C 1 C = OC 1. AOBC – параллелограмм, OC = 2OC 1 = OC. Следовательно, и, значит,