Исследовательская работа Сажиной Надежды, ученицы 11 класса Горхонской средней общеобразовательной школы

Цель исследования: систематизировать и обобщить знания о евклидовой и неевклидовой геометрии. Задачи исследования: -Доказать некоторые свойства геометрии Лобачевского. -Исследовать свойства на поверхностях различной кривизны. -Изучить практическую значимость «воображаемой» геометрии Лобачевского. -Решить задачу о невозможности построения описанной окружности около треугольника в геометрии Лобачевского.

Если две прямые пресекаются третьей так, что по какую либо сторону от неё сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по ту же сторону исходные прямые пересекаются. Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере две. V постулат Евклида Аксиома параллельных Геометрия Евклида Геометрия Лобачевского β α m L L 1 N'N' A C D N L B

Функция Лобачевского Сумма углов треугольника < 2d Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов. Некоторые понятия и факты геометрии Лобачевского Площадь треугольника прямо пропорциональна его угловому дефекту. Чем меньше размеры фигуры, тем меньше её дефект, тем меньше и площадь Сумма углов четырёхугольника меньше 4 d. Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то эти треугольники равны между собой А В С Е F D x ω А КВ М C D N L α β γ γ β γ α δ

F C E AB Итальянский математик, профессор Римского университета Эудженио Бельтрами в 1868 году нашёл модель для неевклидовой геометрии Псевдосфера образуется вращением линии FСЕ, называемой трактриссой, вокруг её оси АВ

Исследование кривизны различных поверхностей Кривизна исследуется с помощью листа бумаги. Листок бумаги не имеет деформаций. На листке бумаги образуются разрывы. На листке бумаги образуются складки. Кривизна = 0 Кривизна < 0 Кривизна > 0

Геометрия Евклида Геометрия Лобачевского Геометрия Римана Через точку вне данной прямой можно провести одну прямую, параллельную данной можно провести две прямых, параллельных данной. нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной Модель планиметрии плоскость псевдосфера сфера Кривизна = 0 < 0 >0 Сумма углов треугольника = 2d < 2d > 2d

Задача на нахождение центра описанной около треугольника окружности Задача на нахождение центра описанной около треугольника окружности А В С D D1D1 D2D2 D3D3 М М1М1 α γ γ1γ1 β β β Угол β = 90° ΔАМD: φ = 180° - (α + β + γ) ΔАМ 1 D 1 : φ 1 = 180° - (α + β + γ 1 ) φ 1 >φ, так как γ 1 < γ Угол γ стремится к нулю. Срединные перпендикуляры в одной точке не пересекутся > нельзя описать окружность около треугольника

хорватский математик Владимир Варичак указал на аналогию между сложением релятивистских скоростей и сложением отрезков на плоскости Лобачевского 1923 г. российский геометр и механик А.П.Котельников ввел понятие пространства скоростей релятивистской механики, оказавшееся точнейшей реализацией геометрии Лобачевского российский физик Н.А. Черников применил геометрию Лобачевского в физике высоких энергий. В расчетах современных синхрофазотронов г. Применение геометрии Лобачевского

«Употребительная» геометрия «Воображаемая» геометрия Теория относительности III век до н.э. XIX век XX век