Лекция 1 Основы механики материальной точки и абсолютно твердого тела

Кинематика материальной точки Материальная точка – это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию, которая называется траекторией. Путь - это расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории. Перемещение - это прямолинейный отрезок, проведенный из точки 1 в точку 2.

Существуют три способа описания движения материальной точки: 1) Координатный способ 2)Векторный способ 3) Естественный способ

Скорость при криволинейном движении материальной точки - скорость при криволинейном движении материальной точки - модуль вектора скорости.

Ускорение при криволинейном движении материальной точки ускорение при криволинейном движении материальной точки: модуль вектора ускорения:

Естественный способ представления ускорения - тангенциальное ускорение - нормальное ускорение

Как видно из построения,, и модуль вектора тангенциальное ускорение при криволинейном движении., откуда следует, что Зная угол, найдем модуль вектора : нормальное ускорение при криволинейном движении

Рассмотрим два частных случая: 1)Равномерное движение материальной точки по окружности: v = const.Тогда тангенциальное ускорение равно нулю и полное ускорение равно нормальному, т.е. центростремительному ускорению : 2) Прямолинейное движение материальной точки: В этом случае радиус кривизны траектории равен бесконечности и нормальное ускорение равно нулю. Полное ускорение равно тангенциальному и направлено вдоль направления движения: если а 0, по направлению движения, если а 0, против направления движения.

Кинематика вращательного движения твердого тела

угловая скорость вращающегося тела [ ] = 1 радиан/с = 1с -1. период обращения связь угловой скорости с частотой вращения угловое ускорение вращающегося тела [ ] = 1радиан/с 2 = 1с -2

Если ось вращения неподвижная, то угловое ускорение направлено вдоль оси вращения. При этом возможны два случая:

В частных случаях равномерного и равнопеременного вращения можно провести аналогию с соответствующими случаями прямолинейного поступательного движения: Поступательное движение Вращательное движение a 0 0 v const const s vt t a const const v v 0 at 0 t s v 0 t at 2 /2 0 t t 2 /2

Линейная скорость точки : т.е. v = R. Как видно из рисунка, R = rsin, и формула примет вид v = r sin, откуда следует - связь между линейной и угловой скоростью для вращающегося твердого тела

Ускорение отдельной точки вращающегося тела представим в виде суммы Нормальное ускорение a n равно: Тангенциальное ускорение a Полное ускорение a равно:

Динамика материальной точки

В основе классической механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687г. Первый закон Ньютона: Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Второй закон Ньютона: Скорость изменения импульса тела равна геометрической сумме сил, действующих на данное тело: Произведение массы тела на его ускорение равно геометрической сумме сил, действующих на тело: Третий закон Ньютона: Силы с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению:.

Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса системы материальных точек Материальные точки системы обладают импульсом: - импульс i-ой материальной точки Запишем для каждой материальной точки второй закон Ньютона: Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим

Сумма производных равна производной от суммы, а также по третьему закону Ньютона: В результате получим: Если система материальных точек замкнута, т.е., тогда и имеет место закон сохранения импульса:. Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный импульс системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени.

Механическая работа и мощность

Если на тело действует сила, то эта сила совершает работу по перемещению этого тела. Прежде чем дать определение работе при криволинейном движении материальной точки, рассмотрим частные случаи: а ) Сила постоянная, движение прямолинейное. В этом случае механическая работа A равна: A = F s cos = или A = Fcos s = F S s где F S – проекция силы на перемещение. В данном случае F s =const, и геометрический смысл работы A – это площадь прямоугольника, построенного в координатах F S,, s.

б ) Движение прямолинейное, сила переменная, т.е. F S const. Построим график проекции силы на направление перемещения F S как функции перемещения s. Полное перемещение представим как сумму n малых перемещений. Для малого i -ого перемещения работа равна или площади заштрихованной трапеции на рисунке. Полная механическая работа по перемещению из точки 1 в точку 2 будет равна: Величина, стоящая под интегралом будет представлять элементарную работу по бесконечно малому перемещению : - элементарная работа

с ) Движение криволинейное, сила переменная. - работа при криволинейном движении Пример 1: Работа силы тяжести при криволинейном движении материальной точки. Если обозначить высоту точки 1 от поверхности Земли через, а высоту точки 2 через, то Работа силы тяжести по замкнутому пути равна нулю: Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называется консервативными.

Пример 2: Работа силы трения. т.е. работа силы трения всегда отрицательная величина и на замкнутом пути не может быть равной нулю. Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Если за время совершается работа, то мощность равна - механическая мощность. Взяв в виде получим для мощности выражение:

Механическая энергия Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется массами и скоростями рассматриваемых тел. При вычислении использован второй закон Ньютона, а также - модуль скорости материальной точки. Тогда можно представить в виде: - кинетическая энергия движущейся материальной точки. Умножив и разделив это выражение на, и учитывая, что, получим - связь между импульсом и кинетической энергией движущейся материальной точки. Потенциальная энергия (или энергия положения тел) определяется действием на тело консервативных сил и зависит только от положения тела. Функция, которая зависит только от положения тела – называется потенциальной энергией.

Тогда для элементарной работы получим – работа равна убыли потенциальной энергии. Величину, равную сумме кинетической и потенциальной энергий частицы, называют полной механической энергией тела: – полная механическая энергия тела. Используя второй закон Ньютона, дифференциал кинетической энергии можно представить в виде: Таким образом, если сила – консервативная сила и отсутствуют другие внешние силы, то, т.е. в этом случае полная механическая энергия тела сохраняется.

Потенциальная энергия упругой деформации Возьмем материальную точку, закрепленную на конце пружины. Положение этой точки будет описываться радиус - вектором, на неё действует возвращающая сила упругой деформации. Вычислим элементарную работу, которую необходимо затратить на дополнительное растяжение пружины на величину. Эта работа увеличит запас потенциальной энергии на. Итак, мы получили формулу для потенциальной энергии упруго сжатой или растянутой пружины. – потенциальная энергия, обусловленная действием сил упругости.

Динамика вращательного движения

Кинетическая энергия вращения твёрдого тела. Момент инерции твердого тела Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела складывается из кинетических энергий его частей Сумму, входящую в правую часть этого соотношения назовём моментом инерции I тела относительно оси вращения - момент инерции твёрдого тела. Слагаемые этой суммы представляют момент инерции материальной точки относительно оси вращения - момент инерции материальной точки относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси, равна - кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы Согласно определению момент инерции твёрдого тела равен Следовательно, момент инерции можно представить в виде. Это значение момента инерции является приближенным. Точное значение I получается при замене суммирования на интегрирование, т.е.. Эти интегралы берутся по всему объёму тела.

Пример 1: Вычисление момента инерции тонкого стержня массы m и длинной l, вращающегося вокруг оси перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс. Будем считать стержень однородным, тогда Пример 2: Полый тонкостенный цилиндр, тонкое кольцо : - момент инерции цилиндра или тонкого кольца

Пример 3: Сплошной цилиндр, диск. - момент инерции сплошного цилиндра или диска Пример 4: Сплошной шар. - момент инерции шара.

Основной закон динамики вращения твёрдого тела Для всякой системы материальных точек имеет место закон изменения суммарного момента импульса во времени: - основной закон динамики вращения твёрдого тела Если ось вращеня главная, то, и получаем т.е. - аналог второго закона Ньютона для вращательного движения твёрдого тела - закон сохранения момента импульса твёрдого тела.

Аналогия между поступательным и вращательным движением Поступательное движениеВращательное движение s(t) – путь - линейная скорость - линейное ускорение m - масса - сила - 2-ой закон Ньютона - импульс -кинетическая энергия -работа -мощность - угол поворота - угловая скорость - угловое ускорение I - момент инерции - момент силы - 2-ой закон Ньютона для вращательн движения - момент импульса - кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела - работа при враща- тельном движении - мощность при вращательном движении