Малые колебания Лекция 7 Осень 2009

Колебания Колебаниями можно назвать процессы, имеющие ту или иную степень повторяемости. В зависимости от физической природы: Механические, электромагнитные, электромеханические, климатические и т.д. Прежде всего все колебательные процессы в физике и технике разделяются на два класса: 1.Периодические 2.Непериодические

Периодические колебания Периодическим называется такой процесс, при котором колеблющаяся величина, взятая в любой момент времени, через определенный промежуток времени (период) Т имеет то же самое значение. Пример: гармонические (синусоидальные) колебания

Непериодические колебания Рассмотрим два примера: 1Затухающая или возрастающая синусоида 2 Лимитационное (апериодическое) движение 1.f(t)=Ae -δt cos(ωt+φ ) 2.f(t):

Затухающая и нарастающая синусоиды

Апериодическое движение

Колебательная система – система, в которой совершаются колебания. Классификация колебаний по колебательным системам: 1.Собственные колебания 2.Вынужденные колебания 3.Параметрические колебания 4.Автоколебания Собственные колебания происходят в изолированной системе после внешнего возмущения (толчка). Вынужденные колебания происходят под действием заданных внешних периодических сил.

Параметрические колебания отличаются от вынужденных родом внешнего воздействия. Параметрические колебания вызываются периодическим изменением какого-либо физического параметра системы (например, массы). Автоколебания – периодическое движение, которое возникает в системе в отсутствие внешнего периодического воздействия (источник энергии является частью системы).

Автоколебания

Определение числа степеней свободы систем Число степеней свободы есть число независимых переменных (величин), необходимых для полного описания процессов в системе.

Малые колебания с одной степенью свободы Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия U имеет минимум. T

Значение второй производной в точке q = q 0 положительно Разложим U(q) в ряд до членов второго порядка включительно: Введем обозначение x=q – q 0, и примем для простоты, что U(q 0 ) = 0. Тогда получим, что

Кинетическая энергия равна Уравнение движения имеет вид: или Где введено обозначение

Два независимых решения cosωt и sinωt Общее решение имеет вид Это выражение может быть записано также и в виде Поскольку то

Коэффициент a – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота, аргумент косинуса – фаза колебаний, α – их начальная фаза. Период колебаний равен Энергия системы, совершающей малые колебания: После подстановки решения имеем:

T U

Часто оказывается удобным представить решение в виде вещественной части комплексного выражения: где А – комплексная постоянная

Математический маятник

Вращающий момент имеет вид: С другой стороны поэтому

Окончательно имеем: для циклической частоты для периода решение

Физический маятник I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса. l

Получим уравнение Приведенная длина l np :

Колебательный контур В соответствии с законом Кирхгофа

Векторная диаграмма Приведем во вращение вектор длины а с угловой скоростью ω. Проекция вектора на ось x будет изменяться со временем по закону

Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты Уравнения колебаний имеют вид: Результирующее колебание определяется соотношением

Векторная диаграмма:

Применим теорему косинусов По построению или

Биения При сложении двух гармонических колебаний одинакового направленияможно получить биения, если они мало различаются по частоте. Пусть частота одного колебания ω, а второго ω + Δω. Причем Δω

Результирующее колебание x=x 1 +x 2 имеет вид: Медленно изменяющийся множитель может рассматриваться как амплитуда А:

Частота биений Δω=ω 2 ω 1 Период биений

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Для простоты возьмем уравнения колебаний в виде: Из первого уравнения следует, что Следовательно,

Уравнение для y раскроем как косинус суммы: После переноса и возведения в квадрат получим: (1)

Частные случаи уравнения (1) Разность фаз равна нулю α=0.

Разность фаз α=±π Уравнение (1) теперь имеет вид

Разность фаз α=±π/2 Получаем эллипс, приведенный к координатным осям.

Случаи α=+π/2 и α=π/2 различаются направлением движения по эллипсу (a b) или по окружности (a=b). При α=+π/2 и движение совершается по часовой стрелке. При α=π/2 и движение совершается против часовой стрелки.

Фигуры Лиссажу Рассмотрим случай, когда Δω

Фигуры Лиссажу возникают в том случае, если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы.