Рациональные способы решения алгебраических уравнений Подготовили Лихобабина Анастасия, Кулыгина Анастасия.

Разделы: Исторические факты. 1. Первое руководство по решению уравнений. Первое руководство по решению уравнений решения за одну ночь. 22 решения за одну ночь. Определение алгебраических уравнений. Виды уравнений. Способы решения. 1. Способы решения Способы решения квадратных уравнений. Список использованной литературы и сайтов.

Историческая справка. Первое руководство по решению уравнений. Багдадский ученый IX в. Мухаммад ибн Муса Хорезми.

22 решения за одну ночь. Франсуа Виет (1540 – 1603 г.)

Алгебраическое уравнение n-ой степени a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n =0, где a 00, a 0, a 1, …a n - заданные числа

Виды алгебраических уравнений Линейное уравнение ax + b = 0 Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 Кубическое уравнение ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Биквадратное уравнение ax 4 + bx 2 + c = 0 Уравнение 4-ой степени общего вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 Алгебраическое уравнение n-ой степени общего вида a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 = 0

Способы решения уравнений 1. С помощью формул сокращенного умножения: (a±b) 2 =a 2 ±2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) (a 1 +a 2 +…+a n ) 2 =a 1 2 +a 2 2+…+a n 2 +2a 1 a 2 +2a 1 a 3 +…+2a n-1 a n (a±b) 3 =a 3 ±3a 2 b+3ab 2 ±b 3 a 3 ±b 3 =(a±b)(a 2 ±ab+b 2 ) a n -1=(a-1)(a n-1 +a n-2 +…+a n-k +…+a+1) a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b+…+a n-k b k-n +…+ab n-2 +b n-1 ) НАПРИМЕР:

Способы решения уравнений (6x-1) 2 -4(3x+2)(3x-2)=-7; 36x 2 -12x+1-4(9x 2 -4)=-7; 36x 2 -12x+1-36x 2 +16=-7; 17-12x=-7; -12x=-24; x=2; Ответ:{2}. (2x-1) 3 -(2x-3) 3 =24x 2 -40x-24; 8x 3 -12x 2 +6x+1-8x 3 +36x 2 -54x-27=24x 2 -40x-24; 24x 2 -48x-26=24x 2 -40x-24; -8x=2; x=-0,25; Ответ:{0,25}.

Способы решения уравнений Например: 2х 4 + 3х 3 + х 2 = 0; x 2 (2x 2 +3x+1)=0; x 2 =0, 2x 2 +3x+1=0; x=0, 2x(x+1)+(x+1)=0; x=0, (2x+1)(x+1)=0; x=0, 2x+1=0, x+1=0; x=0, x=-0,5, x=-1; Ответ: {0;-0,5;-1} 2. Вынесение общего множителя за скобки: 4(y 2 -7)-16y(y 2 -7)=0; (4-16y)(y 2 -7)=0; 4(1-4y)(y 2 -7)=0; (1-4y)(y 2 -7)=0; 1-4y=0, y 2 -7=0; 4y=-1, y 2 =7; y=-0,25, y=7; Ответ:{-0,25;7}.

3. Метод группировки: Например: x 4 -4x 3 +5x 2 -4x+4=0; x 4 -4x 3 +4x 2 +x 2 -4x+4=0; (x 4 -4x 3 +4x 2 )+(x 2 -4x+4)=0; x 2 (x 2 -4x+4)+(x 2 -4x+4)=0; (x 2 +1)(x 2 -4x+4)=0; x 2 +1=0, x 2 -4x+4=0; x 2 =-1, (x-2) 2 =0; Ø,Ø, x-2=0; x=2; Ответ:{2}. Способы решения уравнений

Способы решения квадратных уравнений Разложение левой части уравнения на множители. Метод выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений по формуле. Решение с помощью теоремы Виета. Решение с помощью теоремы Виета. Решение с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Решение с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Решение с помощью теоремы. Решение с помощью теоремы.

Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х х – 24 = 0 Разложим левую часть уравнения на множители: х х – 24 = х х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2) Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х – 2) = 0. Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х х – 24 = 0.

Метод выделения полного квадрата Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0 х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3 х 2 + 2· х · = (х + 3) 2 Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2. х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х · – 3 2 – 7 = = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16 Данное уравнение можно записать так: (х + 3) 2 –16 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 16. Следовательно, х + 3 = 4, х = 1, или х +3 = - 4, х = – 7.

Решение квадратных уравнений по формуле Вывод формулы: Умножим обе части уравнения ах 2 + bх + с = 0, а 0, на 4а и следовательно имеем: 4а 2 х 2 + 4аbс + 4ас = 0. ((2ах) 2 + 2ах · b + b 2 ) – b 2 + 4ас = 0, (2ах + b) 2 = b 2 – 4ас, 2ах + b = ± 2ах = – b ± Х =

Например: 4х 2 + 7х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 – 4ас = 7 2 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >0 х =, х = ; х =, х = –1 Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т. е. при b 2 – 4ас>0 уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

Теорема Виета ax 2 +bx+c=0, а0

Теорема обратная, теореме Виета Если числа m и n таковы, что их сумма равна –b, а произведение равно c (m+n=-b, m·n=c), то эти числа являются корнями уравнения ax 2 +bx+c=0

Теорема* Если сумма коэффициентов квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 равно нулю, то есть a+b+c=0,то корнями уравнения являются 1 и.

Решение уравнения несколькими способами. x 2 -6x+5=0 а) x 2 -6x+5=0 x 2 -x-5x+5=0 (x 2 -x)-(5x-5)=0 x(x-1)-5(x-1)=0 (x-5)(x-1)=0 x-5=0, x-1=0; x=5, x=1. Ответ:{1; 5}. б) x 2 -6x+5=0 x 2 -2·3·x+5=0 x 2 -2·3·x+9-9+5=0 (x-3) 2 -4=0 (x-3) 2 =4 x-3=2, x-3=-2; x=5, x=1. Ответ:{1; 5}.

в)x 2 -6x+5=0 a=1 b=-6 c=5 D=b 2 -4ac=36-4·1·5=36-20=16 D>0, следовательно x= x= ; ; x=5 x= ; ; x=1 Ответ:{1; 5}.

По теореме, обратной теореме Виета г)x 2 -6x+5=0 x 1 +x 2 =6 x 1 x 2 =5 5=1·5 или 5=-1·(-5) x=1 x=5 Ответ: {1;5}

По теореме* д) x 2 -6x+5=0 a=1, b=-6, c= =0, значит x=1 x=5 Ответ: {1;5}

Список использованной литературы и сайтов Учебник для учащихся 8 класса с углубленным изучением математики. Под редакцией Н. Я. Виленкина. Алгебра. Сборник задач для учащихся 8-9 классов средней школы. Карп А. П.