Комплексные числа Козлова Мария 10 «А» класс

i² = - 1 действительных корней нет. i i Но в новом числовом множестве оно должно иметь решение. Для этого вводится специальный символ i, называемый мнимой единицей. i²=- 1

Понятие комплексного числа. Х²=-1 Х= i -корень уравнения i- комплексное число, такое, что i²=-1 Z=А + В· i ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

А и В – действительные числа i- некоторый символ, такой, что i²= - 1 A= Re z – действительная часть числа (вещественная); B = i m – мнимая часть числа i – мнимая единица Z=А + В· i

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Модуль комплексного числа Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В· i (Z) = Z Комплексно сопряженные числа. Z = A + B i =

Тригонометрическая форма комплексного числа Z =r φ- аргумент комплексного числа Z=r cos φ + i rsin φ = = r (cos φ+ i sin φ) Для Z=0 аргумент не определяется

Т.к Z =r = Z= А + В· i= cosφ+i sinφ

Сложение и умножение комплексных чисел Алгебраическая форма Геометрическая форма Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I Произведение Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [cos( φ 1 + φ 2 )+isin ( φ 1 + φ 2 )] Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC)i

Если Z 1 = Z 2, то получим Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ) Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+ i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ) Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)0 и любого натурального числа n

Свойства сложения и умножения Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Распределительные свойство: Z 1 + Z 2 = Z 1 + Z 2 Z 1 · Z 2 = Z 1 · Z 2 Z 1 · (Z 2 + Z 3 )= Z 1 · Z 2 + Z 1 · Z 3 (Z 1 + Z 2 )+Z 3 = Z 1 +( Z 2 +Z 3 )(Z 1 · Z 2 ) · Z 3 = Z 1 ·( Z 2 · Z 3 )

Вычитание и деление комплексных чисел Z+ Z 2 = Z 1 Вычитание – операция, обратная сложению: Z+ Z 2 +(- Z 2 )= Z 1 +(- Z 2 ) Z= Z 1 - Z 2 –разность Деление – операция, обратная умножению: Z · Z 2 = Z 1 Разделив обе части на Z 2 получим:

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Например, Вычислите:

Значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4. Найдем:

Решение. i,– 1, – i, 1, i, – 1, – i, 1 и т. д. Имеем, 28 = 4×7 (нет остатка); 33 = 4×8 + 1 ; 135 = 4× Соответственно получим

Вычислите: -i 1 2-i

гораздо В настоящее время в математике шире, комплексные числа используются действительные чем

Комплексные числа имеют прикладное значение во многих областях науки, являются основным аппаратом для расчетов в электротехнике и связи. Комплексные числа имеют прикладное значение во многих областях науки, являются основным аппаратом для расчетов в электротехнике и связи.

При вычерчивании географических карт

Применяются при конструировании ракет и самолетов

В исследовании течения воды, а также во многих других науках.

Используемая литература. 1.Афанасьев О. Н., Бродский Я. С. Сборник задач по математике для техникумов. – М.: Наука, Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ. – М.: Просвещение, Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, Говоров В. М., Дыбов П. Т. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: Наука, Маркулевич А. И. Комплексные числа и камфорные отображения. – М., Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. – М.: ОНИКС XXI век, Мир и образование, Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. – М.: Просвещение, Шахно К. У. Элементарная математика для окончивших среднюю школу. – Л., Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н. Избранные задачи и теоремы элементарной математики: арифметика и алгебра. – М.: Наука, Штейнгауз В. Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.

Спасибо за внимание.