Векторная алгебра Умножение векторов

Скалярное произведение Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Физический смысл. Пусть материальная точка под действием силы перемещается из положения в положение Обозначения :

Скалярное произведение Работа силы по перемещению материальной точки равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. Свойства скалярного произведения Следствия из формулы 4 :

Скалярное произведение Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. 7. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: Определение перпендикулярных векторов: 90°

Скалярное произведение Скалярное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть Тогда Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Условие перпендикулярности векторов в координатной форме :

Векторное произведение Ориентированные тройки векторов. Рассмотрим три упорядоченных некомпланарных вектора Определение 1. У порядоченная тройка векторов имеет правую ориентацию, когда смотришь с конца третьего вектора и кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки.

Векторное произведение Поменяем порядок векторов и : Изменится ориентация тройки. Определение 2. Упорядоченная тройка векторов имеет левую ориентацию, когда смотришь с конца третьего вектора и кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит по часовой стрелке. Пример. Тройка векторов имеет правую ориентацию. x y z 0 Система координат х, у, z имеет правую ориентацию.

Векторное произведение Определение 3. Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, удовлетворяющий трем условиям : Тройка векторов имеет правую ориентацию. Обозначения :

Векторное произведение Физический смысл. Пусть к твердому телу, закрепленному в точке А, приложена в точке В сила Момент силы, приложенной в точке В, относительно точки А равен векторному произведению вектора и силы : А В

Векторное произведение Пример. Рассмотрим три вектора Найти всевозможные попарные векторные произведения этих векторов. Решение x y z 0

Векторное произведение Свойства векторного произведения Геометрический смысл. Модуль векторного произведения двух векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

Векторное произведение 5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору: 6.

Векторное произведение Векторное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть Тогда

Смешанное произведение Определение. Смешанным произведением трех векторов называется векторное произведение первых двух векторов, умноженное скалярно на третий вектор: Обозначения: Замечание. Результат смешанного произведения трех векторов является скалярной величиной.

Смешанное произведение Свойства смешанного произведения векторов Если поменять местами два соседних сомножителя, то изменится только знак произведения: 3. Циклическая перестановка сомножителей не меняет значение смешанного произведения:

Смешанное произведение 4. Геометрический смысл. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах : Знак смешанного произведения определяет ориентацию тройки векторов : если, то тройка имеет правую ориентацию; если, то тройка имеет левую ориентацию.

Смешанное произведение 5. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю. Смешанное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть Д.з. Доказать самостоятельно, используя геометрический смысл Тогда

Доказательства Доказательство свойств скалярного произведения Используя свойство 4 и свойства проекций, получим :

Доказательства 7. Необходимость. Достаточность.

Доказательства Из свойств скалярного произведения следует Значит

Доказательства Геометрический смысл векторного произведения.

Доказательства Необходимость. Достаточность.