Лекция 2 Основы молекулярной физики и термодинамики

Термодинамические параметры. Уравнение состояния идеального газа Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом на расстоянии и имеют малые собственные размеры. Состояние заданной массы m идеального газа определяется значениями трёх параметров: давления P, объёма V, и температуры Т. уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) - где М - масса 1 моля газа, R = 8,31 - универсальная газовая постоянная. Для одного моля газа уравнение состояния идеального газа примет вид: - уравнение Клапейрона

Изопроцессы для идеального газа: T = const – изотермический процесс. PV = const – закон Бойля-Мариотта. P = const - изобарический процесс. - закон Гей-Люссака. V = const – изохорический процесс, - закон Шарля.

Запишем уравнение состояния идеального газа в другой форме. Введем новую постоянную величину: - постоянная Больцмана и перепишем уравнение Менделеева-Клапейрона в виде:. Учитывая, что - число молекул в газе массы m, получим. Так как - число молекул в единице объема или концентрация молекул, то другая форма записи уравнения состояния идеального газа

Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газов Возьмем сосуд с газом и определим давление P газа на стенки сосуда. Для простоты рассмотрения выберем этот сосуд в форме куба с ребром l и расположим его в декартовой системе координат, как показано на рисунке. Пусть в сосуде имеется всего N молекул. Предположим, что: 1.Вдоль оси х движется одна треть всех молекул, т.е. ; 2.Удар молекул о стенку Q идеально упругий и молекулы проходят расстояние, равное размеру куба, не испытывая соударений. Импульс силы, полученный стенкой при ударе молекулы, определим из второго закона Ньютона, где - изменение импульса молекулы, m – масса молекулы..

Поскольку масса стенки намного больше массы молекулы, то и или по модулю,где использовано обозначение Таким образом, одна молекула за время t передает стенке импульс силы, а за время сек передаёт стенке импульс силы равный,где k – число ударов молекул за 1 с Так как - промежуток времени между двумя последовательными ударами,. то, тогда. Теперь подсчитаем суммарный импульс силы, который передают стенке N1 молекул, движущихся вдоль оси x, за 1 с средняя квадратичная скорость молекул газа

Давление, оказываемое газом на грань куба, равно: где n – концентрация молекул. Запишем это выражение в виде Тогда основное уравнение молекулярно-кинетической теории ( уравнение Клаузиуса ) С учетом уравнения состояния идеального газа: получаем выражение для средней кинетической энергии поступательного движения молекул: средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул Величина kT есть мера энергии теплового движения молекул. Молекулярно- кинетическое толкование абсолютной температуры: Абсолютная температура – есть величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.

Внутренняя энергия идеального газа равна числу молекул газа, умноженному на среднюю кинетическую энергию одной молекулы. U = N При подсчете средней энергии молекулы пользуемся законом равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул: На каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия равная (k-постоянная Больцмана). Числом степеней свободы i системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы. Тогда средняя кинетическая энергия молекул равна: где i = iпост+ iвращ+ iколеб - общее число степеней свободы молекул. Среднюю энергию молекулы можно представить в виде: = + +. При низких температурах ( Т < 1000К ) i = iпост+ iвращ. Внутренняя энергия идеального газа. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул газа

Примеры: n = 1 - одноатомная молекула: i = iпост= 3, = средняя энергия поступательного движения молекул n = 2 - двухатомная молекула: iпост= 3, iвращ= 2, iколеб= 2. i = iпост+ iвращ= = 5 (при низких температурах), i = iпост+ iвращ+ iколеб= 7 (при высоких температурах (Т>1000К)) n = 3 - многоатомная молекула: iпост= 3, iвращ= 3, iколеб= 2S - (при высоких температурах (Т>1000К)) S = 3n – 5 - линейная молекула, S = 3n – 6 - пространственная молекула. i = iпост+ iвращ= 6 - при Т < 1000К, i = iпост+ iвращ+ iколеб= S - при Т = 1000К. Подсчитаем теперь внутреннюю энергию идеального газа: где - число молей газа (количество вещества), внутренняя энергия идеального газа или в другой форме

Основы термодинамики

Первое начало термодинамики: Количество теплоты, сообщённое газу, идёт на приращение внутренней энергии газа и на совершение газом работы над внешними телами. - первое начало термодинамики. а) Внутренняя энергия идеального газа равна где - количество вещества, i – число степеней свободы молекул газа. Тогда изменение внутренней энергии газа равно б) Работа, совершаемая газом при изменении объёма., где dV = S dl - изменение объема газа. работа, совершаемая газом при изменении его объема в) Количество теплоты, сообщенное газу массы при его нагревании на

1. Термодинамика изохорического процесса: V=const Этот закон является частным случаем уравнения состояния идеального газа: PV = RT. - закон Шарля Так как, то и, т.е - первое начало термодинамики для изохорического процесса. Поскольку количество теплоты, сообщенное газу, равно, где - молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме, то мы получаем - изменение внутренней энергии газа. Сравнивая эту формулу с другой формулой получим выражение для молярной теплоёмкости газа при постоянном объёме:.

Термодинамика изобарического процесса: P=const. Соотношение Майера - закон Гей-Люссака Работа, совершаемая газом, приращение внутренней энергии газа тоже не равно нулю первое начало термодинамики для изобарического процесса Формула для подсчёта теплоты - молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении. Приращение внутренней энергии запишем в виде Работу, совершаемую газом, также представим в аналогичном виде. Размерность и физический смысл универсальной газовой постоянной R: Универсальная газовая постоянная R численно равно работе, совершённой одним молем газа при изобарическом процессе при увеличении его температуры на один градус.

Подставляя полученные выражения для dQ, dU, dA в первое начало термодинамики, получим: Сокращая на dT, получим соотношение между молярными теплоёмкостями газа при постоянном объёме и постоянном давлении : - соотношение Майера. Приведем также выражение для отношения молярных теплоёмкостей и Выпишем работу, совершаемую газом при изобарическом процессе (P=const): На графике (P,V) работа, совершаемая газом, численно равна площади прямоугольника, построенного под изобарой

3. Термодинамика изотермического процесса: T=const. Так как T = const, то т. е. dU = 0. dQ = dA - первое начало термодинамики при изотермическом процессе При изотермическом процессе вся теплота, сообщенная газу, идет на работу, совершаемую газом: Q = A. Выпишем работу, совершаемую газом при изотермическом процессе. Используя уравнение Менделеева-Клапейрона представим элементарную работу в виде: закон Бойля-Мариотта работа, совершаемая газом при изотермическом процессе На графике (P,V) работа, совершаемая газом, численно равна площади под кривой, описывающий изотермический процесс.

4. Термодинамика адиабатического процесса: dQ=0 Адиабатический процесс - это процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. Поскольку dQ = 0, то первое начало термодинамики примет вид: Работа, совершаемая газом: для конечного адиабатического процесса: - Исходя из dU + dA = 0, выведем закон, которому удовлетворяют параметры газа при адиабатическом процессе. Подставив это выражение в dU + dA = 0, получим дифференциальное уравнение: которое, разделив на СV T и используя соотношения можно записать в виде

Это дифференциальное уравнение приводится к полному дифференциалу: Решение этого дифференциального уравнения имеет вид уравнение адиабатического процесса в переменных (T,V) Воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона PV = RT, можно перейти к переменным (P,V) и (T,P). Например, из Подставляя это в уравнение, получим - уравнение Пуассона, где -коэффициент Пуассона. уравнения адиабаты

Графики изопроцессов Представим графики всех изопроцессов в одних и тех же координатных осях (P,V), причём пусть все они начинаются из одного и того же начального соединения 1. Сравним уравнения изотермы PV = const и адиабаты Поскольку > 1, то адиабата идёт круче изотермы, что видно с графиков изопроцессов.

Второе начало термодинамики. Цикл Карно и его КПД. Энтропия.

Равновесным состоянием системы называется такое состояние, при котором параметры системы имеют определённые значения, остающиеся при неизменных внешних условиях постоянными сколько угодно долго. Процесс, состоящий из непрерывной последовательности равновесных состояний, называется равновесным или квазистатическим. Равновесные процессы называют также обратимыми процессами. В случае обратимого процесса при возвращении в исходное состояние ни в самой системе, ни в окружающих телах не остаётся никаких изменений. Если такие изменения появляются, то такой процесс называется необратимым процессом. Все реальные процессы необратимы. В механических процессах необратимость вызывается трением.

Всякая тепловая машина представляет собой систему, совершающую многократно некий круговой процесс (цикл). Пусть в ходе цикла рабочее вещество (например, газ) сначала расширяется до объёма, а затем сжимается до первоначального объёма (рис. 1). Чтобы работа за цикл была больше нуля, давление, (а, следовательно, и температура) в процессе расширения должно быть больше, чем при сжатии. Для этого рабочему веществу нужно в ходе расширения сообщать теплоту, а в ходе сжатия отнимать от него теплоту. Совершив цикл, рабочее вещество возвращается в исходное состояние. Поэтому изменение внутренней энергии за цикл равно нулю. Количество теплоты, сообщаемой рабочему телу за цикл, равно где – теплота, получаемая рабочим телом при расширении, а – теплота, отдаваемая при сжатии. Работа, совершаемая за цикл, равна площади цикла. Таким образом, первое начало термодинамики, написанное для цикла, имеет вид. Как следует из этого выражения, не вся получаемая извне теплота используется для получения полезной работы.

Коэффициентом полезного действия (сокращённо КПД) тепловой машины называется отношение совершаемой за цикл работы к полученной за цикл теплоте. Второе начало термодинамики: Невозможно построить периодически действующую тепловую машину, которая бы всю подводимую к ней теплоту превращала в работу, т.е. всегда

Цикл Карно и его КПД Французский инженер Сади Карно предложил идеальный цикл, который даёт максимальное КПД т.е.. Этот цикл состоит из двух изотерм и двух адиабат и носит название цикла Карно. - изотермическое расширение при - адиабатическое расширение - изотермическое сжатие при - изотермическое сжатие Вычислим КПД цикла Карно для идеального газа. При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остаётся постоянной. Поэтому количество полученной газом теплоты равно работе, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 2). где – масса идеального газа в тепловой машине Количество отдаваемой холодильнику теплоты равно работе, затраченной на сжатие газа при переходе его из состояния 3 в состояние 4. Эта работа равна

Для того чтобы цикл был замкнутым, состояние 1 и 4 должны лежать на одной и той же адиабате. Отсюда вытекает условие Аналогично для состояний 2 и 3 должно вытекать условие Разделив одно соотношение на другое, приходим к условию замкнутости цикла Теперь подставляя и в выражение для КПД, получим В результате получим формулу для КПД цикла Карно: где - температура нагревателя, - температура холодильника. КПД цикла Карно является максимальным КПД из всех возможных циклов, осуществляемых в данных температурных интервалах и.

Для обратимого цикла Карно: для необратимого цикла Карно: Для произвольного обратимого цикла: для произвольного необратимого цикла: