(Алгебра – 9)

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века и неудивительно, что с нею связаны различные придания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. - Я желаю достойно вознаградить тебя. Мудрец молчал. - Я достаточно богат, чтобы исполнить твоё самое смелое пожелание. Назови награду, которая тебя удовлетворит.

- Повелитель,- сказал Сета,- прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничноё зерно, за вторую – 2, за третью - 4, за четвёртую – 8, за пятую – 16… - Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зёрна за всё 64 клетки доски. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Сета улыбнулся и покинул залу.

Отходя ко сну царь вспомнил об изобретателе шахмат и спросил: -Унёс ли Сета свою жалкую награду? - Повелитель,- ответили ему, математики твои трудятся без отдыха и надеются к рассвету закончит подсчёт. Утром царю доложили, что число это так велико, что в его амбарах нет такого количества зёрен.

Что за последовательность чисел получилась? 1 ; 2 ; 4 ; 16 ; 32 ; 64…. В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на два. Такая последовательность называется геометрической прогрессией.

Определение геометрической прогрессии. Числовая последовательность b 1 ; b 2 ; b 3 ;….; b n ;… геометрической прогрессией называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство b n+1 = b n q, где b n 0, q – некоторое число, не равное нулю. qзнаменателем q называется знаменателем прогрессии.

Примеры геометрических последовательностей. Размножение бактерий. Последовательность длин сторон. 2; 4; 8; 16; 32;…. 1

Свойство геометрической прогрессии. b n+1 = b n q b n-1 = b n : q Перемножим эти равенства b n+1 b n-1 = (b n q) (b n : q) = b n 2

Если все члены прогрессии положительны, то т. е. каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» «геометрическая» прогрессия.

Формула n – го члена геометрической прогрессии. b n+1 = b n q b n+1 = b n q b 2 = b 1 q b 2 = b 1 q b 3 = b 2 q = b 1 q 2 b 3 = b 2 q = b 1 q 2 b 4 = b 3 q = b 1 q 3 b 4 = b 3 q = b 1 q 3 b n = b 1 q n-1 b n = b 1 q n-1 ………………………

Задача 1. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если b 1 = 81, q =. Решение.

Задача 2. Решение. 2) b n =2·3 n-1 = 486, b n =b 1 ·q n-1 3 n-1 = 243, 3 n-1 = 3 5,

На луг площадью м 2 попали семена одуванчика и со временем заняли 50м 2. При благоприятных условиях одуванчик размножаясь, занимает площадь в двое большую, чем в прошлом году. Через сколько лет одуванчики займут весь луг? Задача 3.

Дано: b 1 =50, b n =12800, q=2. Найти: n. Ответ: за 9 лет. Решение. b n =50·2 n-1 = 12800, b n =b 1 ·q n-1 2 n-1 = 256, 2 n-1 = 2 8, n – 1 = 8, n = 9.

Закрепление. Какая последовательность называется геометрической прогрессией? Почему она так называется? Как вычислить n – ный член геометрической прогрессии?

Д\з: §30, (чет). Работа в классе: 406 (устно), (нечет).