Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 9. Работа, мощность силы. Кинетическая энергия. Теоремы об изменении кинетической энергии для материальной точки и системы. Пример решения задач на использование теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки. Лекция 9.

Лекция 9 Работа, мощность силы. Кинетическая и потенциальная энергия – механическое движение в результате взаимодействия механических систем может переноситься с одной механической системы на другую: 1. без превращений в другую форму движения, т.е. в качестве того же механического движения, 2. с превращением в другую форму движения материи (потенциальную энергию, теплоту, электрическую энергию и т.д.) Каждый из этих случаев имеет свои измерители (меры) механического движения и механического взаимодействия, отстаиваемые в свое время Декартом и Лейбницем (см. таблицу): Мера механического движенияМера механического взаимодействия ДекартКоличество движенияИмпульс силы ЛейбницКинетическая энергияРабота силы Ф. Энгельс показал существование и равноправность обоих (векторных и скалярных) мер движения, каждой из которых соответствуют свои меры механического взаимодействия. Импульс силы является мерой действия силы при изменении механического движения. Работа является количественной мерой превращения механического движения в какую-либо другую форму движения материи. Работа силы, приложенной к материальной точке – Пусть точка приложения переменной по величине и направлению силы перемещается по некоторой произвольной траектории. На малом (элементарном) перемещении силу можно считать постоянной и элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения (касательную к траектории движения), умноженной на элементарное перемещение : M T Знак элементарной работы определяется величиной угла и знаком cos : Поскольку часто более удобно работать с острыми углами, то в этом случае используют острый угол и знак присваивают по следующему простому правилу: если сила и перемещение совпадают по направлению, то присваивается знак +, если противоположны по направлению, то знак. Элементарная работа может быть записана в виде скалярного произведения: и в проекциях: Работа на конечном перемещении M M 1 получается суммированием или интегрированием: Частные случаи: 1. Сила постоянная по величине (F = const) и направлению ( =const): 2. Сила постоянная по величине (F = const) и параллельна перемещению ( =0): 3. Сила перпендикулярна перемещению: 1

Лекция 9 ( продолжение – 9.2 ) Можно доказать следующие теоремы и утверждения: Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении: Работа постоянной сил по величине и направлению на составном перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на каждом из составляющих перемещений: Работа внутренних сил неизменяемой системы равна нулю: Работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению силы тяжести на разность высот: Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Запишем выражение для элементарной работы силы, приложенной к точке, и выразим элементарное перемещение через угол поворота тела: ω R d dsds T h h z -работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, выражается через момент силы относительно оси. В частном случае постоянного значения момента силы относительно оси работа равна произведению момента силы на угол поворота: Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, для конечного угла поворота: Мощность – величина, характеризуемая количеством работы, произведенной в единицу времени: Мощность силы, приложенной к точке: Мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу: Работа линейной силы упругости (реакции пружины) при перемещении из состояния равновесия: 2

Лекция 9 ( продолжение – 9.3 ) Кинетическая энергия – характеризует способность механического движения превращаться в эквивалентное количество другого движения: Кинетическая энергия материальной точки: Кинетическая энергия системы материальных точек: Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении: Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении: Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении: Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки – Изменение кинетической энергии точки равно работе сил, действующих на точку на том же перемещении: Запишем основной закон динамики точки: Выразим ускорение через скорость и умножим левую и правую части соотношения скалярно на дифференциал радиуса-вектора : Проинтегрируем полученное соотношение: После подстановки пределов получаем: Теорема об изменении кинетической энергии системы – Изменение кинетической энергии системы равно работе сил, действующих на систему на соответствующих перемещениях точек системы: Запишем теорему об изменении кинетической энергии для произвольной точки системы, при этом выделим работу внешних и внутренних сил, приложенных к данной точке: Просуммируем левые и правые части соотношений: В левой части получили разность кинетических энергий системы: Для неизменяемой системы: 3

Лекция 9 ( продолжение – 9.4 ) Пример решения задачи на применение теоремы об изменении кинетической энергии для материальной точки – Снаряд массы m выбрасывается пружинным устройством из канала под углом к горизонту. Длина нерастянутой пружины жесткостью c равна длине канала l 0. Перед выстрелом пружина сжимается на величину d. Определить скорость снаряда при вылете из канала, а также максимальную высоту полета. Дано:, c, d, m, l 0 Найти: v 1, H d 1. Выбираем объект - снаряд 2. Отбрасываем связи – ствол, пружину 3. Заменяем связи реакциями – N, R 4. Добавляем активные силы – G 5. Записываем теорему об изменении кинетической энергии для точки: Начальная скорость снаряда равна нулю: Работа сил, приложенных к объекту, равна: Работа нормальной реакции равна нулю (направление реакции перпендикулярно перемещению): Работа силы тяжести: Работа упругой реакции пружины (направление реакции совпадает с перемещением): Подставляем определенные величины в теорему: Отсюда величина скорости вылета снаряда: Определяем максимальную высоту полета (повторяем шаги 1-5): H Вертикальная скорость снаряда в наивысшей точке траектории равна нулю : Горизонтальная скорость снаряда постоянная (из закона сохранения проекции на ось x количества движения точки) и равна: Работа силы тяжести: Подставляем определенные величины в теорему: После некоторых сокращений и преобразований: Отсюда максимальная высота полета: Заметим, что предыдущее выражение можно более быстро получить, записывая теорему об изменении кинетической энергии только для вертикальной скорости движения точки, поскольку горизонтальные силы отсутствуют и горизонтальная скорость не изменяется.. 4