МОУ Тучковская средняя школа 3 Научный руководитель: Гагаркина И.И. Руководитель проекта: Матвеева А.В. Участники проекта: Шиков Владислав, Потехин Дмитрий

Тема доклада : Принцип Дирихле

Биография Дирихле Петер Август Лежён ( ) немецкий математик, иностранный член-корреспондент Петербургской Академии наук (1837), член многих других академий. Основные заслуги П. Дирихле в области математики: установил, что в арифметической прогрессии аn = а1 + dn, где n = 1,2... с целыми взаимно простыми а1 и d содержится бесконечно много простых чисел; исследовал понятие условной сходимости ряда, установил признак сходимости ряда; ввёл функциональные ряды особого вида; ввёл (вместе с Н. И. Лобачевским) определение функции через соответствие и т. д.

Цель: - Познакомить учащихся с новыми математическим методом решения задач, которые не рассматриваются в школьном курсе - Научить решать олимпиадные задачи с помощью принципа Дирихле; - Показать его применение для решения разнообразных задач

Задачи проекта: - Научить решать задачи, связанные с числовыми множествами; - Научить решать задачи, связанные с делимостью чисел; - Научить решать некоторые геометрические; - Показать методику решения простейших задачи по теории вероятностей.

Формулировки принципа Дирихле Принцип Дирихле - утверждение, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий.кроликамиклетками 1. Если в n клетках сидит m зайцев, причём m > n, то хотя бы в одной клетке си­дят, по крайней мере два зайца 2. Пусть в n клетках сидят m зайцев, причём n > т. Тогда найдётся хотя бы одна пустая клетка

3. Если m зайцев сидят в n клетках, то найдётся клетка, в которой сидят не меньше, чем m/n зайцев, и найдётся клетка, в которой сидят не больше, чем m/n зайцев 4. Если n зайцев съели n килограммов травы, то какой-то заяц съел не менее m/n килограммов травы и какой-то заяц съел не больше m/n килограммов 5. Если в n клетках сидят m зайцев и m больше или равно, то в какой-то из клеток сидят по крайней мере k+1 заяц

Задача связанная с числовыми множествами: На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты, пришли 36 гостей. Докажите, что найдётся комната, в которую не пришёл ни один гость.

Решение: Пусть гости – это «кролики»(m), тогда комнаты – «клетки»(n). Так как пришло 36 гостей, а комнат было 42, то получаем, что n>m, то есть комнат больше, чем гостей. Значит найдётся хотя бы одна комната, в которой не будет гостей

Задача, связанная с числовыми множествами: В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли класс, в котором меньше 35 учеников?

Решение(используется обобщенный принцип Дирихле: Допустим, что во всех классах не менее 35 учеников, тогда по всей школе будет не менее чем 35*33=1155 (учеников), что противоречит условию задачи. Значит в школе найдется класс в котором меньше, чем 35 учеников.

Задача связанная с делимостью чисел: Дано 9 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится на 8.

Решение: Обозначим за «клетки» 0 остатки от деления на 8:0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7. «Клеток» будет 8. За «зайцев» обозначим 9 целых чисел. Так 9>8, то 2 целых числа будут иметь одинаковый остаток при делении на 8, а поэтому их разность будет делиться на 8.

Решение некоторых геометрических задач : Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5 см.

Решение: Пусть 5 точек - «зайцы». Так как «клеток» должно быть меньше, то пусть их будет 4. Чтобы получить 4 «клетки», разобьем равносторонний треугольник с помощью средних линий на 4 равных треугольника - «клетки».

Так как «зайцев» - 5, «клеток» - 4 и 5>4, то по принципу Дирихле найдется клетка - равносторонний треугольник со стороной 0,5см, в который попадут не менее 2 зайцев - точек. А так как все 4 треугольника равны и расстояние между точками в любом треугольнике будет меньше, чем 0,5см, то мы доказали, что между некоторыми 2 точками из 5 расстояние будет меньше, чем 0,5см

Простейшие задачи по теории вероятностей : 1. В мешке лежат 10 белых и 10 чёрных шаров. Они тщательно перемешаны и неразличимы на ощупь. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка вслепую, чтобы среди них наверняка оказались два шара одного цвета.

Решение: Цвета шаров обозначим за «клетки» (их две), значит «зайцев» надо больше. Достанем 3 шара из мешка. Так как 3 > 2, то по принципу Дирихле найдётся «клетка» (цвет шара), в которую попадут как минимум 2 «зайца» (шара). Значит, надо достать наименьшее число шаров 3.

2.В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного качества и размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода, не глядя, что бы среди них обязательно оказалась пара носков одного цвета?

Решение: Хорошо, что на левую и правую ногу носки одинаковые, поэтому достаточно побеспокоится только о цвете.

Вывод: Принцип Дирихле помогает нам при решении некоторых задач. Следовательно мы можем утверждать, что принцип Дирихле облегчает решение задач.