Комплексные числа Автор проекта: Юрченко Инна, ученица 10 «А» класса Руководитель проекта: Яковлева Т.П. МОУ СОШ 3 г. Соль-Илецк. 2008г. 2008г.

Цели: I.Знакомство с историей появления комплексных чисел и с действиями, осуществляемыми над комплексными числами; II.Решение уравнений с комплексным переменным; III.Понятие о комплексных числах; IV. Сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приведет к расширению понятия числа;

План 1.Немного истории. 2.Несколько слов о появлении комплексных чисел. 3.Понятие комплексного числа. 4.Степень мнимого числа. 5.Операции, которые можно осуществлять над комплексными числами. 6.Геометрическая форма комплексного числа. 7.Тригонометрическая форма комплексного числа. 8.Показательная форма комплексного числа. 9.Построение комплексных множеств на плоскости.

Немного истории… Несколько высказываний знаменитых ученых о комплексных числах: Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытиём. (Г.Лейбниц.) Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более широкое распространение. (Ф.Клейн.) Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. (Л.Карно.)

Несколько слов о появлении комплексных чисел. Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие ученые считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545г. В своем труде «Великое искусство», или «Об алгебраических правилах» предложил ввести числа новой природы. Он назвал их «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными». Но считал их бесполезными и стремился не пользоваться ими.

Названия «мнимые числа» в 1637г. было введено французским математиком и философом Р.Декартом. А в 1777г. один из крупнейших алгебраистов ХVII века – Л.Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа i=-1. Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803г. Л.Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К.Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII-XVIII веков полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах К.Вессель и Ж.Арган.

Понятие комплексного числа Алгебраическая форма z=a + b·i, а R, b R, i²=-1 a=Re z- действительная часть числа z (вещественная); b=Im z – мнимая часть числа z. Если а0,b0, то z – мнимое число. Если а=0, b0, то z – чисто мнимое число. Если а0, b=0, то z – действительное число.

Степени числа: i¹=i=i4n+1=i; i2=-1=>i4n+2=-1; i³=i²·i=-i=>i4n+3=-i; i4=(i2)²=1=>i4n=1; Z=a + b·i и z=a - b·i – сопряженные; Сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами (z+ž=2, z·ž=a 2 +b 2); Z=a + b·i и -z=-a - b·i – противоположные; Сумма двух противоположных чисел равна 0 (z + (-z)=0). Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i²=-1.

1.Условие равенства комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 ·i и z 2 = a 2 + b 2 ·i : z 1 = z 2, если a 1 =a 2 и b 1 = b Сумма комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 ·i и z 2 = a 2 + b 2 ·i равна: z 1 + z 2 =(a 1 + a 2 )+(b 1 + b 2 ) ·i (сумма двух противоположных чисел равна 0). 3. Разность комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 ·i и z 2 = a 2 + b 2 ·i равна: z 1 - z 2 =(a 1 -a 2 )+(b 1 - b 2 ) ·i. 4. Произведение комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 ·i и z 2 = a 2 + b 2 ·i равно: z 1 · z 2 =( a 1 · a 2 - b 1 · b 2 ) + ( a 1 · b 2 + b 1 · a 2 ) ·i. 5. Частное комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 ·i и z 2 = a 2 + b 2 ·i равно: z 1 / z 2 = a 1 + b 1 ·i / a 2 + b 2 ·i = (a 1 + b 1 ·i )(a 2 - b 2 ·i )/(a 2 + b 2 ·i )(a 1 - b 1 ·i ) = (a 1 · b 2 + b 1 · a 2 )+(a 1 · b 2 + b 1 · a 2 ) ·i /а 2 ² + b 2 2.

Примеры: 1.(3+2i)+(2-5i)=5-3i 2.(3+2i)-(2-5i)=1-3i 3.(3+2i)·(2-5i)=6-15i+4i-10i²= (2+3i)/(3+4i)=(2+3i)(3-4i)/(3+4i)(2- 3i)=(2·4i+3i·3)+(2·4i+3i·3)/3²+4²= 4+16i+9i+9/9+16=13+25i/9+16= 13/25+i

Геометрическая форма комплексного числа. Комплексное число z= a + b ·i изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (а;b). Эта точка обозначается той же буквой Z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто – мнимые – точками оси ординат. у(мнимая ось) Z (a;b) х(действительная ось) Комплексное число изображается также в виде вектора.

Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, а разность по правилу вычитания: Y z 1 (x 1 ;у 1 ) z (x;у) = z 1 (x 1 ;у 1 )+ z 2 (x 2 ;у 2 ) z 1 (x 1 ;у 1 ) z (x;у) = z 1 (x 1 ;у 1 )+ z 2 (x 2 ;у 2 ) z (x;у) z (x;у) х х Правило сложения векторов. Y z (x;у) = z 1 (x 1 ;у 1 )- z 2 z 2 (X 2 ;Y 2 ) z 2 (X 2 ;Y 2 ) z(x;у) z(x;у) X Правило вычитания векторов. Правило вычитания векторов.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Z = r·(соsX + i·sinX), где r ·соsX = Re z; i·sinX = Im z; r = а² + b 2, соsX = а/ а² + b 2, sinX = b/ а² + b 2, X = Arg z – главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа z, - ПXП. Для этих чисел справедливы равенства: z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · (соs (X 1 + X 2 ) + i·sinX (X 1 + X 2 )); z 1 / z 2 = r 1 / r 2 · (соs (X 1 - X 2 ) + i·sinX (X 1 - X 2 )).

Пример: Найти тригонометрическую запись числа 3-i Найти тригонометрическую запись числа 3-i Решение:r=3+1=2 Cos x=3/2, sin x=-1/2 отсюда получаем х=-п/6 z=2(cos п/6-i sin п/6) z=2(cos п/6-i sin п/6)

Показательная форма комплексного числа. Z=r(Cosx+iSinx) можно заменить показательной формой комплексного числа Z=е±ix r(Cosx+iSinx)=eix – формула Эйлера. Пример: ei·п/4 =Cosп/4+iSinп/4=2/2+i(2/2)

Построение комплексных множеств на плоскости. Пример: 2 |z-1| 3, 2 |z-1| 3, 0 Im z 5; 0 Im z 5; Так как z = х + у ·i, x R, y R, то a) первое условие примет вид: 2 |(х-1)+ у ·i| 3; 2 (х-1)² + у² 3; 4 (х-1)² + у² 9. Это множество точек, внутри и на границе кольца между окружностями с центром (1;0) и радиусами, равными 2 и 3; b) второе условие примет вид: 0 у 5 => искомое множество есть часть кольца, ограниченная отрезками прямых: у = 0 и у = 5. Решение данной системы есть следующие множество точек, изображенных на плоскости: у уу у

Вывод: Комплексные числа, несмотря на их лживость и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях. Основные элементы учения о комплексных числах рассмотрены мною в данном проекте. Комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики. Комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики. А теперь, суммируя все сказанное, сформулируем наконец определение комплексного числа: комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица.

Литература. И.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 11 класс. Москва « Просвещение» 1993г. И.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 11 класс. Москва « Просвещение» 1993г. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. 10 класс. Москва « Просвещение» 1989г. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. 10 класс. Москва « Просвещение» 1989г. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике.