Учебный проект по теме: «Наибольшие и наименьшие значения и изопериметрические задачи в математике» Учениц 10 «А» класса Бельской Кристины, Кирюхиной Таисии. Учитель-консультант Ганиева Алсу Азватовна.

«Всё моё, моё!» говорит жадный человек, собирая свои руки в круг, показывая, как много добра он может ими захватить. При этом не подозревая, что демонстрирует решение одной из самых древних задач математики изопериметрической задачи»

«Существует оптимальное расстояние, на котором женское лицо выглядит привлекательнее всего; поскольку в двух случаях – на нулевом и бесконечном расстоянии – привлекательность обращается в нуль (ничего не видно), то между этими пределами, естественно, должен существовать максимум».

Аргументация Ежедневно в нашей жизни нам встречаются задачи на нахождение наибольших или наименьших значений, потому что разумный человек непременно ищет такой путь, который поможет ему достигнуть наибольшей выгоды. Но при этом мы даже и не подозреваем, что в таком простом бытовом случае мы решаем изопериметрические задачи.

Изопериметрические задачи: Изопериметрические задачи (от изо... (греч.) - постоянный и периметр) – класс задач вариационного исчисления на нахождение наибольшего или наименьшего значения (например, площади) по заданной величине (например, периметру).

Цели нашего проекта: понять, что входит в термин изопериметрической задачи; рассмотреть доказательства некоторых изопериметрических задач; научиться решать изопериметрические задачи различными методами; определить взаимосвязь между задачами, которые рассматриваются в курсе алгебры и геометрии; выявить важность изопериметрических задач в науке.

Принцесса Дидона – дочь финикийского царя и жена жреца Геракла Акербаса.

Задача Дидоны заключается в том, чтобы от прямой линии берега, верёвкой данной длины отгородить участок земли наибольшей площади. Задача Дидоны в точности равносильна изопериметрическ ой задаче.

Формулировки задачи Дидоны: Среди замкнутых плоских фигур, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь. Среди замкнутых плоских фигур, имеющих заданную длину, найти кривую, имеющую минимальный периметр.

Задача Пахома: Крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром Р=40 км.

P=AB+BC+CD+AD=40 S=(2+10)/2*13=78 Составим таблицу для вычисления площадей прямоугольников с различными длинами сторон:

Периметр Р40 Стороны а b Площадь S Вывод. Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пахом, например, мог бы пройти всего 36 км и иметь участок площадью 81 км²

Зенодор Зенодор (II век до н. э.), древнегреческий математик, жил в Александрии. Жил между Архимедом (250 до н. э.), о котором он упоминает, и Квинтилианом, который упоминает его.

Основные теоремы Зенодора: Из двух правильных многоугольников с равными периметрами большим будет тот, у которого больше углов. Если круг и правильный многоугольник имеют одинаковый периметр, то круг будет больше. Из всех многоугольников равного периметра и с равным числом сторон наибольшим будет правильный многоугольник.

Архимед Архимед( 287 до н. э. 212 до н. э.) древнегреческий математик, физик, механик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.

Последняя теорема Архимеда: «Из всех шаровых сегментов с равновеликой поверхностью полушар имеет наибольший объем».

Якоб Штейнер Якоб Штейнер ( ) – великий немецкий геометр. Родился в Швейцарии в крестьянской семье, Штейнер был математиком самоучкой.

Замечательное доказательство Якоба Штейнера: «Рассмотрим фигуру, которая при данной длине периметра имеет наибольшую площадь». Почему фигура вообще существует?

Задача Ферма- Торричелли- Штейнера На плоскости даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Для какой точки Т плоскости сумма расстояний АТ+ВТ+СТ наименьшая?

Решение Выстроим отрезки AT, ВТ и СТ в ломаную линию. Теперь, однако, вместо симметрии применим поворот. Повернём плоскость на 60° вокруг точки А, при этом точка С перейдёт в некоторую точку D, а точка Т в точку N. Треугольник AND равен треугольнику АТС, поскольку переходит в него при повороте на 60°, значит TC=ND. Треугольник ANT равносторонний, так как АТ=AN и TAN=60°, поэтому TA=TN. Итак, сумма АТ+ВТ+СТ равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD.

Равенство достигается, когда точки В, Т, N, и D лежат на одной прямой (в указанной последовательности). Это означает, что BTA+ ATN=180° и, следовательно, BTA=120°; а также AND+ ANT= 180°, значит, AND=120°, поэтому ATC=120°. Таким образом, лучи ТА, ТВ и ТС образуют два угла в 120°, поэтому и третий угол между ними также равен 120°

Теорема ФермаТорричелли Штейнера «Если все углы треугольника меньше 120°, то точкой минимума суммы расстояний до его вершин является точка Торричелли. Если же один из углов больше или равен 120°, то такой точкой является вершина этого угла».

Схема решения задач: Выражаем интересующий нас элемент (например, площадь) произвольной фигуры, принадлежащей к данному классу (например, прямоугольников) через другие элементы. Пользуясь наложенными на фигуру ограничениями (например, заданным периметром), записываем величину этого элемента через исходные данные и независимый параметр. Получаем функцию одной независимой переменной. Определяем область изменения этой переменной. Отыскиваем максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

На графике показана среднесуточная температура воздуха в течение двух недель августа 1993 года в Иркутске. Какого числа из наблюдаемого периода температура была максимальной? Ответ: 16 числа

Итоги: В ходе нашего проекта мы выяснили, что изопериметрические задачи в алгебре и геометрии действительно имеют самую тесную связь. Решив и изучив задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений, а так же геометрические задачи на нахождение наибольшей площади по заданному периметру или наибольшего объема по заданной площади, мы узнали и способы решения задачи, и что эти задачи действительно имеют множество сходных черт. Изопериметрические задачи - это не только пример старинной математики, но и задачи, которые встречаются каждому из нас в реальной жизни.