А В С D Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектриссой этого угла. Луч AD – биссектриса угла ВАС

Теорема о биссектрисе угла. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. С А В К D M H 1 2 Доказательство: 1. Обозначим буквой М произвольную точку биссектрисы угла ВАС. 2. Проведём 3. Рассмотрим АНМ и АМК: =>=> =>=> 4. МН=МК ч.т.д.

Теорема. Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. С А В К M H 1 2 Доказательство: 1. Рассмотрим точку М, такую, что: 2. Рассмотрим АНМ и АМК: =>=> =>=> 3. Следствие. Множество всех точек плоскости, каждая из которых лежит внутри неразвернутого угла и равноудалена от его сторон, есть биссектриса.

Следствие. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (инцентр). СА В С А В О

а АВ О Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема о серединном перпендикуляре. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. M Доказательство: 1. Обозначим буквой М произвольную точку серединного перпендикуляра. 2. Если М совпадает с О, АМ=МВ. рассмотрим АМО и ВМО: =>=> =>=> 4. АМ=ВМ ч.т.д. а АВО 3. Если М не совпадает с О, то

Если река является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему две деревни, то эти деревни равноудалены от моста через реку.

Теорема обратная теореме о серединном перпендикуляре. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. M Доказательство: 1. Рассмотрим произвольную точку М, равноудаленную от концов отрезка АВ. 2. Если М лежит на АВ, то М совпадает с О, следовательно лежит на прямой а. MО – высота АМВ =>=> =>=> 4. т.о. АО=ВО АВО 3. Если М не лежит на прямой АВ, то АМВ - равнобедренный треугольник. MО – медиана Прямая МО – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, и точка М лежит на нем. а

Следствие. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. С А В О K M N Доказательство: 1. Пусть 2. По свойству серединного перпендикуляра: АО=ОВ ВО=СО =>=> АО=ОС 3. Т. к. АО=ОС, то по теореме обратной теореме о серединном перпендикуляре О принадлежит серединному перпендикуляру отрезка АС. Т.е. О принадлежит ОК.

Список используемой литературы: 1) Геометрия, 7-9: Учеб. Для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, АО «Московские учебники», ) Геометрия 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, В.В.Прасолов; под ред. В.А.Садовничего. – М.: Просвещение, 2010.