Признак перпендикулярности прямой и плоскости а ОР Q В F А m а р n α

План доказательства 1этап. Дано: а перпендикулярна прямой ОР и ОQ,ОF принадлежит плоскости α Требуется доказать: а перпендикулярна ОF 1)АО=ОВ 2)АР=ВР,АQ=ВQ. 3)Δ АРQ=ΔВРQ, поэтому угол АРQ равен углу ВРQ 4)Δ АРF=Δ ВРF,поэтому АF=ВF. 5)в Δ АВF медиана FО является высотой, т.е. АВ перпендикулярна ОF или а перпендикулярна ОF 2этап m произвольная прямая плоскости α, ОFıı m. Так как а перпендикулярна ОF, то а перпендикулярна m, и, следовательно а перпендикулярна α. 3этап Дано: а перпендикулярна р и n. Доказать: а перпендикулярна плоскости α 1) а ıı а, 2)Так как а перпендикулярна α, то а перпендикулярна α

Перпендикулярность прямой и плоскости А В С Д Задача1Отрезок АВ не пересекает плоскость α, АС и ВД перпендикулярны плоскости α. АС=20см,ВД=30см, т М принадлежит АВ, причем АМ:МВ=2:3, ММı перпендикулярен плоскости α.Найдите ММı м мıмı Решение Из того что АС и ВД перпендикулярны плоскости следует АС ıı ВД, по определению параллельных прямых они задают плоскость β, которая пересекает плоскость α по прямой СД. По определению перпендикулярной прямой к плоскости АС и ВД перпендикулярны прямой СД, т М принадлежит прямой СД, если бы она не принадлежала СД, тогда она пересекала бы плоскость β и прямая АС по лемме о параллельности прямых, также пересекала бы β, это противоречит условию- плоскость β прошла через АС. Через т А проведем прямую параллельную СД ΔАМР~ΔВКА, ВК=10см,АМ:АВ=2:5,МР=4см, ММ =14см. К Р

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости. М с а β α в Дано: пл. α, т М не принадлежит пл. α Доказать, что существует прямая, перпендикулярная плоскости α и проходящая через точку М и притом только одна. План доказательства: 1.Прямая а в плоскости α. 2.Плоскость β через т М, перпендикулярно к прямой а, 3.Прямая в- линия пересечения пл. α и β 4.Прямая с в плоскости β через т М, перпендикулярно прямой в 5.Прямая с –искомая.

Задача 2 α С К А В М Дано:Δ АВС СК перпендикулярна плоскости α. Угол С равен 90˚, АС=12см, ВС=16см,СК=24см СМ-медиана. Найти КМ

Решение: а) СМ-медиана, тогда СМ=1/2АВ,АВ найдем по т Пифагора, АВ=20см Так как СК перпендикуляр к плоскости, то по определению прямой, перпендикулярной плоскости, СК перпендикулярна СМ, Δ СМК- прямоугольный По теореме Пифагора КМ=26 б) СМ-высота, Δ АВС- прямоугольный, найдем площадь треугольника по формуле S=1/2ав,где а, в- катеты. S=1/2·12·16=96, площадь этого треугольника можно найти еще по формуле S=1/2СМ·АВ,СМ=9,6, КМ=668,16~25,8 в) СМ-биссектриса, тогда СМ.воспользуемся формулой для вычисления площади и свойством площадей S=1/2·12·16=1/2·12·СМ·sin45˚+1/2СМ·16·sin45˚ 96=(32+42)·СМ, СМ=96/72, КМ=24/7· 57

Задача 3, 4 С В А М Дано: т М лежит вне плоскости АВС МВ=МД, АВСД- ромб Доказать: прямая ВД перпендикулярна плоскости АМС. Д В Д С А Р М Дано: ΔАВС, т М не принадлежит пл. АВС АС=АВ,МС=ВМ, ДМ перпендикулярно ВС. Доказать: ВС перпендикулярно ДР. О

Задача 5,6 М 60˚ 30˚ 10а А С В Дано: прямая а перпендикулярна плоскости АВС, угол С- прямой. Найти МВ а В С Д А Р Дано: прямая а перпендикулярна пл. АВС, угол РДА равен 45˚, РС=12см АВСД -прямоугольник. Найти ДС и АД. 60˚

Перпендикуляр и наклонная В С А Д х 60˚ Дано: АД- перпендикуляр к плоскости α, АВ и АС наклонные, ВС=4. Найти угол АВС. А ВС Д 2 60˚ 30˚ Задача 1. Задача 2. Дано: ДА- перпендикуляр к плоскости β, ДВ и ДА- наклонные, ДС=10. Найти угол ВАС. α β

Перпендикуляр и наклонные А Д В С α 6 Х Дано: АД- перпендикуляр плоскости α, угол ВАС равен 120˚, угол АСД равен 60˚и угол АВД равен 60˚.Найти ВС. Задача 3.Задача 4. А В С А Д Дано: АА - перпендикуляр к плоскости α, АВ и АС- наклонные, ВД=5 см, АД=15см. Найти АВ. α

Решение задач 1,2, 3 3.Так как АД перпендикуляр плоскости α,то Δ АСД и Δ АВД – прямоугольные, АС=6·sin60˚=6·3 /2=3·3, АВ=3·3, ΔАВС - равнобедренный, угол А равен 120˚, по теореме косинусов найдем ВС, ВС²=АВ²+АС²-2АВ·АС·cos120˚. ВС²= ·27·(- ½)=54+27=81, ВС=9 1.Так как АД- перпендикуляр плоскости, то Δ АВД и ΔАСД- прямоугольные, АВ=2: cos60˚= 2:1/2=22. АС=2:sin30˚=22. По теореме косинусов АС²=АВ²+ ВС²- 2АВ·ВС· cos х, 8= · 22·4·cos х, cosх=8/ 162, cosх=2/2, х=45˚,угол АВС равен 45˚. 2. АД перпендикуляр к пл β, Δ АДС- прямоугольный. АС=ДС·cos60˚=10·1/2=5. Δ ДАС прямоугольный, АД=ДС·sin60˚=10·3/2=53, ΔАВД- прямоугольный, АВ²=ДВ²- ДА²,АВ²=139-75=64,АВ=8, Δ АВС по т косинусов ВС²=АС²+АВ²- 2АС·АВ·cosх, 49= ·8·5·сosх сosх=40/80, cosх=1/2,угол ВАС равен 60˚.

Реши самостоятельно Задача 1. А В Д С 30˚6 16 Дано: АВ- перпендикуляр, АС и АД- наклонные, угол АСВ равен 30˚,АС=16см,ВД=6см.Найти АД, ВС. Задача2 А СДВ Дано : АВ - перпендикуляр, АС и АД- наклонные к плоскости, угол АСВ равен 45˚, АС=82, ВД=6.Найти АД, ВС. Задача3 А Д С В Дано: АВ- перпендикуляр, АС и АД наклонные, АС=4см, угол АСВ равен 60˚, ВД=13. Найти АД,ВС.

Расстояние от точки до плоскости Задача1. В треугольнике АВС АВ=ВС=12см, АF высота ΔАВС и равна 9см, т S удалена от каждой вершины треугольника АВС на 10см. Найти расстояние от т S до плоскости треугольника АВС. Задача 2 Точка S удалена от каждой стороны Δ АВС на 5см.АВ=ВС=12см. Найти расстояние от точки S до плоскости треугольника. Задача 3. Точка S удалена от каждой стороны ромба на 20см.Найти расстояние от точки S до плоскости ромба, если диагонали ромба равны 10см и 40см. Задача 4. Точка S удалена от каждой вершины прямоугольного треугольника АВС на 13см.Найти расстояние от т S до плоскости треугольника, если катеты равны 8см и 6см. Чтобы решить каждую из этих задач надо: Определить проекцию точки S на плоскости АВС, вспомнив где лежат центры окружностей вписанной, описанной около треугольника, ромба. Воспользоваться понятием расстояния от точки до плоскости.

Решение задач 1,2. Задача1. S А В С О Так как SА=SВ=SС, то проекции этих наклонных АО=ВО=СО.SО перпендикуляр к плоскости АВС,Δ АSО прямоугольный. Δ АСВ равнобедренный, СF=ВF, СF=37, площадь Δ АВС равна 277. АО-радиус окружности, описанной около треугольника АВС найдем по формуле R=авс/ 4S, R=12·12·67/ 4· 277. R=8. Из Δ SОА найдем SО по теореме Пифагора.SО=6см. F Задача 2. S А В С М N О 1.Так как точка S равноудалена от сторон треугольника АВС, то проекцией точки S на плоскости является т О- центр окружности, вписанной в Δ АВС, радиус этой окружности найдем, используя формулу площади S= р·r, S=1/2АС· ВN. ВN=8, S=48.р=16,r=3. Так как SО перпендикуляр к плоскости, то ΔSОМ прямоугольный, по т Пифагора SМ=4см.

Теорема о трех перпендикулярах Задача 1. С А О М 4 В Д К Дано: АВСД- квадрат, МО- перпендикуляр к плоскости АВС, МС=4см, угол МСО равен 60˚Найти МК. Задача 2. С В А М Д Дано: Δ АВС - прямоугольный, МС- перпендикуляр к плоскости АВС,МД- расстояние от т М до стороны АВ. АС=15см, ВС=20см,ДМ=13. Найти МС Задача 3. М С А В Д Дано: МС- перпендикуляр к плоскости АВС, МД- расстояние от т М до стороны АВ, МС=5см,АС=15см, ВС=13см,АВ=14см.Найти МД. Задача 4. В А С Д М Дано: АВСД- параллелограмм, МВ- перпендикуляр, ВС=30см,АВ= 12см,угол С равен 30˚, МВ=8см Найти расстояние от т М до сторон АД и ДС.

Постройте перпендикуляры к прямым А В С Д М Из т М к прямым ВС и АС 1. А В С Д М Из точки М к прямым АС и ВС 2. В А С М 150˚ Из т. М к прямой АС

Реши самостоятельно А В С М Д Дано: МА перпендикуляр к плоскости, ДМ- расстояние от т М до стороны ВС, т Д-середина ВС. Доказать: АВ=АС. Найти ДМ, если МА=12,АВ=10,ВС=103. А ВС Д О М Дано: АВСД- ромб, МС- перпендикуляр к плоскости. Доказать: МО перпендикулярно ВД. Найти МО, если МС=5см, АВ=10см, угол А равен 60˚. Дано: МВ перпендикуляр к плоскости, МА- расстояние от т М до стороны АД. АВСД - параллелограмм. Доказать : АВСД- прямоугольник. Найти МА, если ВД=10см,угол АВД равен 30˚,ВМ=5см. А В С Д М

Двугранные углы α β а угол СДВ –линейный угол двугранного угла Д С В А В С Д N Р Угол САД равен углу РВN

Решение задач на определение двугранного угла В М С А ΔАВС- прямоугольный, катет АС принадлежит плоскости α, т В находится на расстоянии от плоскости α, плоскость треугольника составляет с плоскостью α угол 45˚.АС-6см, а гипотенуза АВ относится к катету ВС как 5:4. Найти расстояние от т В до плоскости α. Задача 1.

Задача 2. α С В А Д Р Дано: Δ АВС- прямоугольный, катеты АС и СВ равны 5 см и 12см, плоскость α проходит через гипотенузу и составляет с плоскостью треугольника угол 30˚.Найти расстояние от вершины С до плоскости α.