11 класс.

Цель урока: Показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.

П. 48, 464(б,в,г), 466 (б), 471, 467 (б) – двумя способами

Повторяем теорию: Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? Как находят координаты середины отрезка? Как находят длину вектора? Как находят расстояние между точками?

Повторение: Точка К – середина отрезка АВ. Найдите длину отрезка АВ, если известны координаты точек А и К. Ответ:

Повторение: Найдите угол между векторами: C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D а) и 45 0 б)и 45 0 в) Дан куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1. и 135 0

Повторяем теорию: Какие векторы называются перпендикулярными? Что называется скалярным произведением векторов? Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов? Чему равен скалярный квадрат вектора? При каком условии скалярное произведение ненулевых векторов положительно ? отрицательно? равно 0? 0

АВСD Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. МN АDВС Точки М и N – середины ребер АD и ВС. Докажите: MN AD = 0 B C N A D M 461 Дано:

Направляющий вектор прямой Определение: Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной ей. а В А

Визуальный разбор задач из учебника (п.48). 1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых. а)б) θ θ φ = θφ = θ

I. Угол между двумя прямыми Если, - направляющие векторы прямых a и b, то ab =

Визуальный разбор задач из учебника (п.48). 2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости. а)б) α а φ θ α а φ φ θ

II. Угол между прямой и плоскостью Если - направляющий вектор прямой a, - вектор, перпендикулярный к плоскости, то

464 (а) Дано: Найти: угол между прямыми АВ и CD. Ваши предложения… 1.Найдем координаты векторов и 2. Воспользуемся формулой: φ = 30 0

466 (а) Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 точка М принадлежит АА 1 АМ : МА 1 = 3 : 1; N – середина ВС Вычислить косинус угла между прям. MN и DD 1 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1. Введем систему координат. х у z 2. Рассмотрим DD 1 и МN. М N 3. Пусть АА 1 = 4, тогда 4. Найдем координаты векторов DD 1 и MN. 5. По формуле найдем cosφ. Ответ:

Задача. Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; DA = 2; DC = 2; DD 1 = 3. C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D Найти: х у z Решение: 1. Введем систему координат D xyz 2. Рассмотрим направляющие прямых D 1 B и CB По формуле найдем cosφ. СВ 1,D1BD1B

467 (а) Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = ВС = ½ АА 1 Найти: C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1 способ: 1. Введем систему координат B xyz х у z 2. Пусть АА 1 = 2, тогда АВ = ВС = Координаты векторов: 4. Находим косинус угла между прямыми: ВD,CD 1

C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D х у z 467 (а) Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми ВD и CD 1. 2 способ: 1. Т.к. СD 1 || ВА 1, то углы между ВD и ВА 1 ; ВD и СD 1 – равны. 2. В ΔВDА 1 : ВА 1 = 5, А 1 D = 5 3. ΔВDА: по теореме Пифагора 4. По теореме косинусов:

Задача: Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 Найти: угол между прямыми а) АС и BD 1 б) AB 1 и A 1 D двумя способами C C1C1 A1A1 D1D1 В1В1 A D B C C1C1 A1A1 D1D1 В1В1 A D B

Что скажут о тебе другие, если ты сам о себе ничего сказать не можешь. Кузьма Прутков Самостоятельная работа Удачи!!!

A(0; 1; -2), В( ;1;2), С( ;2;1), Д(0;2;1) Дано: A(0; 1; -2), В( ;1;2), С( ;2;1), Д(0;2;1) АВСД Докажите: АВСД – квадрат План: 1)АВСД 1)АВСД – параллелограмм 2)АВСД 2)АВСД – ромб 3)АВСД 3)АВСД – квадрат 450