Геометрия 10 класс Писарев Игорь Игоревич лицей 82

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. a a а

Этот вопрос имеет большое практическое значение, например при установке столбов, колонн зданий, так как их нужно установить перпендикулярно той плоскости, на которую они ставятся. Оказывается, что для этого нет надобности проверять перпендикулярность по отношению к любой прямой, а достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Это вытекает из следующей теоремы, выражающей признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: Доказать: a q О р

Сначала рассмотрим случай, когда прямая а проходит через точку О. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости. а р q m O

Проведем через точку О прямую l,параллельную прямой m. Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ. Проведем в плоскости прямую, пересекающую прямые р, q и l соответственно в точках Р, Q и L. а р q m O Р Q L l В А

Так как прямые р и q- серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и AQ=BQ. Следовательно, APQ= BPQ по трем сторонам. Поэтому APQ= BPQ. Рассмотрим треугольники APL и BPL. AP=BP, PL- общая сторона, APL= BPL, значит APL= BPL по двум сторонам и углу между ними, поэтому AL=BL. а р q m O Q L Р l А В

Это означает, что ABL- равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. l a. Так как lm и l a, то m a (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Таким образом, прямая а перпендикулярна любой прямой m плоскости, т. е. а. а р q m O Q L Р l А В

Теперь рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а 1, параллельную прямой а. По лемме а 1 р и а 1 q, тогда по доказанному в первом случае а 1, а так как аа 1, то а. Теорема доказана. p q О а а1а1