В прямоугольном параллелепипеде Прототип задания B9 ( ) - B9 ( ) С 1 по 5 в открытом банке заданий о математике 2011 год В9В9

Содержание Аналогичные задания прототипа задания B 11 ( ) Задание В Задание В Аналогичные задания прототипа задания B9 ( ) Задание В Задание В Аналогичные задания прототипа задания B9 ( ) Задание В Задание В Аналогичные задания прототипа задания B9 ( ) Задание В Задание В Аналогичные задания прототипа задания B9 ( ) Задание В Задание В

1.1 Прототип задания B 9 ( ) Найдите квадрат расстояния между вершинами С и А 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ=5, АD = 4, AA 1 = 3. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C АА 1 С - прямоугольный Теоретические сведения (А 1 С) 2 = (АА 1 ) 2 +(АD) 2 + (AB) 2 (А 1 С) 2 = (АС) 2 = (А 1 С) 2 = (А 1 С) 2 = 50 Из АВС по теореме Пифагора (АС) 2 = = 41 Из АА 1 С по теореме Пифагора (А 1 С) 2 = (АА 1 ) 2 +(АС) 2 = = 50 Ответ: 50 Вернуться к содержанию 4

Теоретические сведения Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основания которого –прямоугольники. Прямой параллелепипед- это параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскостям основания Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений в с ɑ d 2 = ɑ 2 + в 2 + c 2 d

1.2 Задание B 9 ( ) Прототип ( ) Прототип ( ) Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5, AD=3, AA 1 =6. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C (BD 1 ) 2 = (AB) 2 + (AD) 2 + (AA 1 ) 2 Теоретические сведения (BD 1 ) 2 = (5) 2 + (3) 2 + (6) 2 (BD 1 ) 2 = (BD 1 ) 2 = 70 Ответ: 70 Вернуться к содержанию

1.3 Задание B9 ( ) Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=3, AD=5, AA 1 =5. АB D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C (A C 1 ) 2 = 59 (AC 1 ) 2 = (AB) 2 + (AD) 2 + (AA 1 ) 2 (AC 1 ) 2 = (3) 2 + (5) 2 + (5) 2 (AC 1 ) 2 = Ответ: 59 Вернуться к содержанию Прототип ( )

2.1 Прототип задания B9 ( ) Найдите расстояние между вершинами A и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5, AD=4, AA 1 =3. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C (AD 1 ) 2 = (AD) 2 + (DD 1 ) 2 AD принадлежит плоскости AA 1 D 1 D AA 1 D 1 D - прямоугольник Следовательно ADD 1 - прямоугольный По теореме Пифагора: (AD 1 ) 2 = (4) 2 + (3) 2 (AD 1 ) 2 = (AD 1 ) 2 = 25 AD 1 = 5 Ответ: 5 Вернуться к содержанию 3

2.2 Задание B9 ( ) Найдите расстояние между вершинами В и С 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 6, AD = 6, AA 1 = 8. Прототип ( ) А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C BB 1 C 1 C - прямоугольник Следовательно BCC 1 - прямоугольный По теореме Пифагора: (BC 1 ) 2 = (BC) 2 + (CC 1 ) 2 (BC 1 ) 2 = (6) 2 + (8) (BC 1 ) 2 = (BC 1 ) 2 = 100 BC 1 = 10 Ответ: 10 Вернуться к содержанию

2.3 Задание B 11 ( ) Найдите расстояние между вершинами B и A 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB =9, AD = 4, AA 1 = 12. Прототип ( ) А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C B A 1 = 15 Из прямоугольного BAA 1 по теореме Пифагора Ответ: 15 Вернуться к содержанию

3.1 Прототип задания B 11 ( ) Найдите угол АBD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3. Ответ дайте в градусах. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C AD – проекция наклонной AD 1 на плоскость АВСD AD перпендикулярна AB, следовательно АD 1 перпендикулярна АB по теореме о трех перпендикулярах Теоретическая сведения АВD 1 прямоугольный 1. D 1 В– диагональ прямоугольного параллелепипеда (D 1 В) 2 = 50 = 252; (D 1 А) 2 = (3) 2 + (4) 2 ; β (D 1 В) 2 = (AB) 2 + (AD) 2 + (AA 1 ) 2 ;(D 1 В) 2 = (5) 2 + (4) 2 + (3) 2 D 1 В = 5 2 β=45 о. или 2. D 1 А– гипотенуза прямоугольного AD 1 D Ответ: 45 (D 1 А) 2 = 25; D 1 А= Вернуться к содержанию 3. D 1 A = AB = 5 ABD 1 – прямоугольный и равнобедренный

Теоретические сведения Теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной А М β ɑ Н Прямая ɑ, проведенная в плоскости β через точку М перпендикулярно к МН (проекции наклонной), перпендикулярна АМ (наклонной)

3.2 Задание B 9 ( ) Найдите угол АС 1 В 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ=15, АD=17, AA 1 =8. Ответ дайте в градусах. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C Прототип ( ) β С 1 B 1 перпендикулярна А 1 B 1, следовательно C 1 В 1 перпендикулярна A 1 B 1 по теореме о трех перпендикулярах Теоретическая сведения AB 1 C 1 – прямоугольный. (АВ 1 ) 2 = (15) 2 + (8) 2 по теореме Пифагора из АВВ 1 С 1 В 1 = 17 АВ 1 = 17 β= 45 о AB 1 C 1 прямоугольный и равнобедренный 17 Ответ: о Вернуться к содержанию 8

3.3 Задание B9 ( ) Найдите угол B 1 DD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=12, AD=9, AA 1 =15 Ответ дайте в градусах. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 DC Прототип ( ) β Достроим прямоугольный треугольник B 1 DD 1 (D 1 B 1 ) 2 = (12) 2 + (9) 2 = = Или увидеть, что B 1 D 1 С 1 - египетский, т.е. Стороны относятся как 3:4:5 = 9:12: D 1 B 1. D 1 B 1 = По условию DD 1 = B 1 DD 1 -прямоугольный и равнобедренный Следовательно B 1 DD 1 = 45 o Ответ: o Вернуться к содержанию

4.1 Прототип задания B9 ( ) Найдите угол С 1 ВС прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ=5, АD=4, AA 1 =4. Ответ дайте в градусах. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C β Следовательно угол β равен 45 о Угол С 1 ВС принадлежит плоскости прямоугольника ВВ 1 С 1 С С 1 ВС прямоугольный и равнобедренный 4 4 Ответ: 45 Из С 1 ВС β = 45 о Вернуться к содержанию

4.2 Задание B 9 ( ) Найдите угол CBD прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 4, AA 1 = 6. Ответ дайте в градусах. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C Прототип ( ) β CBD прямоугольный и равнобедренный CBD = 45 о Ответ: 45 Вернуться к содержанию 4 4

4.3 Задание B9 ( ) Найдите угол DC 1 D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 5. Ответ дайте в градусах. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C Прототип ( ) β 5 5 Из равнобедренного прямоугольного DC 1 D 1 DC 1 D 1 = 45 о Ответ: 45 Вернуться к содержанию

5.1 Прототип задания B9 ( ) Найдите угол DBD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA 1 = 5. Ответ дайте в градусах. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 DC 4 3 5, β DD 1 перпендикулярна к плоскости основания => D 1 DB = 90 o B прямоугольном D 1 DB:1.или2. 1. Из АВD по теореме Пифагора: 5 Ответ: 45 D 1 B - диагональ прямоугольного параллелепипеда 5 3. D 1 DB – прямоугольный и равнобедренный β = 45 о Вернуться к содержанию

5.2 Задание B9 ( ) Найдите угол BD 1 B 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 12, AD = 9, AA 1 =15. Ответ дайте в градусах. А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D C ,, β BD 1 B 1 - прямоугольныйНайдем D 1 B 1 из прямоугольного D 1 B 1 C D 1 B 1 C 1 – египетский. В котором B 1 C 1 : D 1 C 1 : D 1 B 1 = 3:4:5 =9:12:15 D 1 B 1 = 15 D 1 B 1 можно найти по теореме Пифагора из D 1 B 1 C 1 И так D 1 B 1 = В 1 В = В прямоугольном равнобедренном D 1 B 1 В углы при основании равны по 45 о β = 45 о Ответ: 45 Вернуться к содержанию (D 1 B 1 ) 2 = (12) 2 + (9) 2 = = 225 Прототип ( )

5.3 Задание B9 ( ) Найдите угол АС 1 В прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ =13, АD = 12, АА 1 = 5. Ответ дайте в градусах. Прототип ( ),, А B D1D1 C1C1 B1B1 А1А1 D β 13 Из C 1 В 1 В 5 C По теореме о трех перпендикулярах C 1 ВА = 90 о Теоретические сведения 5 C 1 ВА - прямоугольный равнобедренный В C 1 ВА углы при основании равны по 45 о β = 45 о Ответ: 45 Вернуться к содержанию

Работа учителя математики Зениной Алевтины Дмитриевны 2011год

Скоро ЕГЭ! Еще есть время подготовиться!