Примеры уравнений с двумя переменными a)х (x - y) = 4 b)2y-x 2 = -2 c)х (x + y 2 ) = x + 1 Уравнение с двумя переменными Х и У имеет вид: F (x, y) = I (x, y), где F и I – выражения с переменными x и y.

Решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, обращающих это уравнение в верное равенство. Рассмотрим уравнение х (x – y) = 4 Если x = -1, y = 3, то -1 * (-1 – 3) = 4 Пара (-1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения x (x – y) = 4.

Исключения: 1.X 2 + (y 2 - 4) 2 = 0 только два решения: (0; -2) и (0; 2) 2.2x 2 + y 2 = 0 только одно решение: (0;0) 3.X 2 + y = 0 не имеет решений.

Любое целое уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением вида F (x, y) = 0, в котором правая часть будет нулем, а левая F (x, y) - многочленом стандартного вида. Пример: (1) x (x + y) 2 = x + 1 x y 2 + x = 0 (2) Где уравнение (2), правая часть которого, многочлен стандартного вида третьей степени. Значит уравнение (1) тоже третьей степени. Степенью уравнения с двумя переменными пред- ставленного в виде F(х, у)=0, где F(х, у)-многочлен стандартного вида, называют степень многочлена F(х, у).

Графиком уравнения с двумя переменными называется множеством точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. п/пУравнениеГрафик ах + ву +с=0 Если а0 v в0 Если а=в=с=0 Если а=в=0, с0 У=ах 2 + bx + c Xy = k (k 0) x 2 + y 2 = n 2, где x и y – переменные, n – положительное число х 2 - у 2 = 0 х 2 - 5х у = 0 Прямая Координатная плоскость Пустое множество Парабола Гипербола Окружность, с центром в начале координат с радиусом, равным r Эллипс Пересекающиеся прямые Параллельные прямые

п/пПреобразование графиков График уравнения F (-x, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси у.F (-x, y) = 0 График уравнения F (x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси х.F (x, -y) = 0 График уравнения F (-x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью центральной симметрии относительно начала координат.F (-x, -y) = 0 График уравнения F (x-а, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения параллельно оси х на а единиц (вправо, если а > 0, и влево если а < 0).F (x-а, y) = 0 График уравнения F (x, y-b) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения на b единиц параллельно оси у (вверх, если b>0, и вниз, если b

График уравнения F (аx, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью сжатия к оси у в а раз, если а>1, и с помощью растяжения от оси у в 1/а раз, если 0

Пример 1. Покажем, что графиком уравнения х 2 + у 2 + 2х – 8у + 8 = 0 является х 2 + у 2 + 2х – 8у + 8 = 0 окружность. Преобразуем уравнение следующим образом: –сгруппируем слагаемые, содержащие переменную х и содержащие переменную у, и представим каждую группу слагаемых в виде полного квадрата трехчлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 – 2 *4 *у + 16) + 8 – 1 – 16 = 0; –запишем в виде квадрата суммы (разности) двух выражений полученные трехчлены: (х + 1) 2 + (у – 4) = 0; проанализируем, согласно правилам преобразования графиков уравнений с двумя переменными, уравнение (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2 : графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (-1; 4) и радиусом 3 единицы.

Пример 2. Построим график уравнения х 2 + 4у 2 = 9. Представим 4у 2 в виде (2у) 2, получим уравнение х 2 + (2у) 2 = 9, график которого можно получить из окружности х 2 + у 2 = 9 сжатием к оси х в 2 раза. х 2 + 4у 2 = 9 Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единицы. Уменьшим в 2 раза расстояние каждой её точки от оси Х, получим график уравнения х 2 + (2у) 2 = 9. Мы получили фигуру с помощью сжатия окружности к одному из её диаметров(к диаметру, который лежит на оси Х). Такую фигуру называют эллипсом.

Пример 3. Выясним, что представляет собой график уравнения х 2 - у 2 = 8.х 2 - у 2 = 8. Воспользуемся формулой F( ) = 0. Подставим в данное уравнение вместо Х и вместо У, получим: Асимптотами гиперболы у = являются прямые у=0 и х=0. При выполненном повороте эти прямые перейдут в прямые = 0 и =0, т.е в прямые у = х и у = - х.

Пример 4 : Выясним, какой вид примет уравнение у = х 2 параболы при повороте около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке. Используя формулу F (-у; х) = 0, заменим в уравнении у = х 2 переменную х на –у, а переменную у на х. Получим уравнение х = (-у) 2, т. е. х = у 2

Мы рассмотрели примеры графиков уравнений второй степени с двумя переменными и выяснили, что графиками таких уравнений могут быть парабола, гипербола, эллипс (в частности окружность). Кроме того, графиком уравнения второй степени может являться пара прямых (пересекающихся или параллельных).Это так называемый вырожденный случай. Так графиком уравнения х 2 - у 2 = 0 является пара пересекающихся прямых, а графиком уравнения х 2 - 5х у = 0- параллельных прямых.

А сейчас от теории перейдём к практике. Попытайтесь, используя основные опорные записи лекции, выполнить следующие задания.

ЗаданиеЗадание 1. Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4) являются решениями уравнения: а) х 2 – у 2 = 0, б) х = х 2 у + 6у.х 2 – у 2 = 0х = х 2 у + 6у Задание 2. Найдите такие решения уравнения ху 2 - х 2 у = 12, в которых :ху 2 - х 2 у = 12 значение Х равно 3. Задание 3. Определите степень уравнения:уравнения а) 2у 2 - 3х 3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х)(4х - у 2 ) = х; б) 5у 4 - 3у 3 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у - х 2 ) 2 = х(х+4ху+1)

ЗаданиеЗадание 4. Какая фигура является графиком уравнения:графиком а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 - 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = х 2 - у; г) (х +1,5)(х – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.2х = 5 + 3у6 х 2 - 5х = у – 12(х + 1) = х 2 - у(х +1,5)(х – 4) = 0ху – 1,2 = 0х 2 + у 2 = 9 Задание 5. Напишите уравнение, график которого симметричен графику уравнения х 3 - ху + 3 = 0 относительно: х 3 - ху + 3 = 0 а) оси х; в) прямой у = х;оси хпрямой у = х б) оси у; г) прямой у = -х.оси упрямой у = -х Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.

ЗаданиеЗадание 6. Составьте уравнение, график которого получается растяжением графика уравнения у = х 2 -3:графику = х 2 -3 а) от оси х в 2 раза; б) от оси у в 3 раза.от оси х в 2 разаот оси у в 3 раза Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.

ЗаданиеЗадание 7. Сравните взаимное расположение данных прямых и определите, каким преобразованием плоскости график первой прямой переводится в график второй прямой. график а) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7у = 5;3х-7у = 5 и 3(х-1)-7у = 5; б) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7(у+3) = 5;3х-7у = 5 и 3(х-1)-7(у+3) = 5 в) 3х-7у = 5 и 3х + 7у = 5;3х-7у = 5 и 3х + 7у = 5 г) 3х-7у = 5 и -3х-7у = 5; д)3х-7у = 5 и 3х-7у =-5.3х-7у = 5 и -3х-7у = 5 д)3х-7у = 5 и 3х-7у =-5.

Уважаемые ребята попробуйте применить полученные знания в самостоятельной работе. Результаты ответов занесите в отчетную таблицу, используя которую при проверке работы вы сможете оценить себя. Желаю успеха в работе!

Самостоятельная работа. I вариант. 1. Определите степень уравнения: а) 5х 3 -3х 2 у+ 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 -(х - у) 2 =2(х + у). 2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения: х 3 + у 3 -5х 2 = Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид: а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4; б) х 2 -у 2 = 1; в) х-у 2 = 9. II вариант. 1. Определите степень уравнения: а) 3ху = (у-х 3 )(х 2 +у); б) 2у 3 +5х 2 у = Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения: х 2 -у 2 -3х = Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид: а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 =9; б) у 2 - х 2 =1; в) х = у

Проверьте на сколько успешно вы справились с работой. Не правильные ответы подчеркните и оцените свою работу по следующей шкале: Всё верно – «5» 1 – 2 ошибки – «4» 3 – 4 ошибки – «3» Более 4 ошибок – «2»

ответы: I вариантII вариант 1 а 1 б 4 2 (4ХУ +1 = 0) НЕТДА 3 а 3 б 3 в ОКРУЖНОСТЬ ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА ОКРУЖНОСТЬ ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА

Запишите домашнее задание: 1.Разберите ключевые моменты лекции и постарайтесь запомнить их. 2.Выполните по учебнику 407(а, в), 408(в, г), 409. В 407 и 408 нужно определить вид линии по заданному уравнению и построить график. В 409 нужно составить уравнение линии, используя правила преобразования графиков.

Улыбка математики: Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. -Ах, этот? – вспомнил Гильберт. – Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения. СПАСИБО ЗА УРОК!