Методы и способы решения задач на смеси, растворы и сплавы Цель: создание условия для выработки алгоритма решения задач на смеси и сплавы, нахождение различных способов решения одной задачи. Задачи: обобщить способы и методы решения задач на данную тематику; развивать умения применять ранее изученные нестандартные методы для решения данного типа задач; воспитание уверенности в себе, активности, умения работать в коллективе, стремление достигать поставленной цели.

Актуализация темы Анализ результатов ЕГЭ с момента его существования говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу составляет около 30%. В школьной программе почти не рассматриваются задачи на смеси, сплавы и растворы, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», поэтому мы решили такого типа задачи рассмотреть на занятиях математического кружка в 8 классе.

Если запастись терпением и проявить старание, то посеянные семена – знания непременно дадут добрые всходы. Ученья корень горек, да плод сладок. Леонардо да Винчи

Различные задачи I. Задачи на сплавы : 1. Имеются сплавы золота и серебра. В одном сплаве эти металлы находятся в отношении 2:3, а в другом - в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находятся в отношении 5:11?

х г. – золото, у г. – серебро Способы решения такого типа задач схематический + алгебраический 3 : С = 2 : 33 : С = 3 : 7 3 : С = 5 : 11

Уравнение: 0,15х+0,65(200-х)=0, Имеются 2 сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200 г сплава, содержащего 30% меди? Первый способ решения задачи Изобразим сплавы в виде прямоугольников М С + М С = М С Х г (200-х)г 200 г 15%65%30%

Второй способ решения задачи : - система М С М С М С + = х г у г 200 г 15%65%30%

Третий способ: можно решить данную задачу на основе подсчёта масс свинца. Четвёртый способ: - таблица СплавМасса сплава% содержа- ние меди Масса меди, г 1 сплав? гx г15% = 0,150,15 х 2 сплав? г(200-х) г65% = 0,650,65(200-х) 3 сплав200 г30% = 0,30,15х+0,65(200- х)=0,3200

Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора II. Задачи на растворы 1. Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10% раствором и получили 600 г 15% раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять? 1 способ: - алгебраический. Обозначим х массу первого раствора, тогда масса второго (600-х). Составим уравнение: 30х+10(600-х)=60015, х=150 2 способ: - приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15х=5(600-х) S1 S1=S2 S2 Х г 600 г m г n % 30% 10% Х=150

10х=25(140-х), х= =40. Ответ: 100т и 40т. 2. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля? С использованием графика: приравнивание площадей равновеликих прямоугольников. S2 S1 S1=S2 n% 30% 5% х т140m т

III. Задачи на смеси Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ. 1. У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен? Вывод: дешёвого масла нужно взять втрое больше чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла ¼ ведра, а дешёвого масла 3/

Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмём 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/105+1/108+1/1012=6 гривен. Способ Л. Ф. Магницкого для трёх веществ. 2. Некто имеет чай трёх сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

IV. Задача на смеси из трёх веществ : 1. Имеется два сплава меди, никеля и железа, причем первый из них содержит 4% меди. Если сплавить их в равных количествах, получится сплав, содержащий 66% железа, а если взять 3 кг первого сплава и 7 кг второго, получится сплав, содержащий 0,4 кг меди. Определить процентное содержание никеля во втором сплаве, если известно, что оно в 2 раза выше, чем в первом сплаве. Решение: Пусть во втором сплаве массовая доля никеля равна x, а железа – у. Для решения задачи составим схему.

Составим и решим систему уравнений: Во втором сплаве массовая доля никеля равна 0,4, т.е. 40%. Ответ: 40%.

V. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений. 1. Фирма торгует компьютерами двух типов А и В. Каждый проданный компьютер типа А приносит ей 100 долларов прибыли, а компьютер типа В – 300 долларов. Спрос на компьютеры диктует следующие ограничения. Общее число компьютеров, проданных фирмой за день не превышает 10 штук, причем компьютеров В продаётся менее 50% от этого числа, но не более 2-х штук, а компьютеров А продаётся более 2-х штук. Определите максимальную ежедневную прибыль фирмы. Решение системой : х – компьютеры А, у – компьютеры В, S – прибыль.

Все отмеченные точки с целочисленными координатами являются решением четырёх последних неравенств, но нам нужно выбрать такую, координаты которой придают равенству S=100x+300y наибольшее значение. Можно выбрать такую точку, подставив последовательно координаты каждой. Точка (8;2) удовлетворяет данному условию. Итак, наибольшая прибыль S=1400 долларов. Графический способ X=2 y=x y=-x+10 y=2 y x O

2. Банк начисляет по вкладу р % за первый месяц и q % за второй. Поместив в банк некоторую сумму, вкладчик в конце первого месяца снял пятую часть всех имевшихся на счёте денег, а остальные оставил на второй месяц. При каком значении р сумма на счёте к концу второго месяца окажется максимальной, если известно, что р+q=30? Решение введение 1: пусть 1 – сумма первоначального вклада, 1+0,01р – к концу первого месяца, 0,8(1+0,01р) – остаток, 0,8(1+0,01р)(1+0,01q) – сумма к концу второго месяца. Т.к. q=30-р, то 0,8(1+0,01р)(1,3-0,01р) р[0;30] максимальное значение данный квадратный трёхчлен принимает при р=15. Ответ: р=15

Ожидаемые результаты Через освоение данных приёмов и способов решения такого типа задач предполагается: 1) развивать способность к самостоятельной деятельности, 2)правильно и быстро выбирать нужный способ решения и правильный ответ, 3) умение диалектически анализировать задачу позволяет школьнику оценить содержание с разных сторон, в разных ситуациях и найти правильный подход к её решению.

Автор проекта Колесникова Вера Николаевна – учитель математики МОУ «Кужерская средняя (полная) общеобразовательная школа» Год рождения Образование – МГПИ, 1978 г. Педагогический стаж – 34 г. Категория – I Проблемная тема – «Организация исследовательской деятельности школьников на уроках математики» (2008/2012)

Литература 1. Задачи на смеси, растворы и сплавы / Библиотека «Первое сентября». – Математика для школьников. – , ,

Творческих вам успехов! «Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи». Антуан Де Сент-Экзюпери «При единении и малое растет, при раздоре и величайшее распадается». Саллюстий Гай Крисп