Комплексные числа и их применение Выполнила: ученица 10 б класса МОСШ 3 Берестова Серафима Научный руководитель: учитель метематики Гаджиметова Фарида Мурадовна

изучить тему «Комплексные числа» и научиться решать задачи с комплексными числами. Задачи для достижения цели Узнать, насколько актуально использование комплексных чисел. Освоить действия, производимые с комплексными числами. Проанализировать различную литературу.. Цель:

Комплексные числа и их применение «Помимо или даже против воли того или иного математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение». Ф.Клейн

Софья Ковалевская ( ) Жила под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что должен, пусть будет, чему быть». Первая решила задачу, используя теорию функции комплексного переменного.

Комплексные числа и их применение ax 2 +bx+c=0 Нет решения??? Есть!!! Квадратное уравнение

Комплексные числа и их применение Комплексное число - это число вида а+bi, где а и b – вещественные числа. z=a+bi a=Re z b=Imz. i= «i»- первая буква французского слова imaginaire, что в переводе обозначает «мнимый». Определение

Комплексные числа и их применение Законы сложения: сочетательный Переместительный Законы умножения: Сочетательный Переместительный Дистрибутивный закон

Z+0=Z Z*0=0 Z*1=Z Что значит «0» и «1» для комплексного числа?

Комплексные числа и их применение z=a+bi – алгебраическая форма z=|z|(cosφ+isinφ) – тригонометрическая форма z=е iφ - показательная форма Запись комплексного числа

Комплексные числа и их применение Суммой комплексных чисел z=a + bi и z=a 1 + b 1 i называют комплексное число z=(a + a 1 ) + (b + b 1 )i. Пример Пусть z 1 =2-3i, z 2 =1+4i. Тогда: z 1 +z 2 =(2-3i)+(1+4i)= 3+i Сложение комплексных чисел

Комплексные числа и их применение Разностью комплексных чисел z=a + bi (уменьшаемое) и z=a 1 + b 1 i (вычитаемое) называется комплексное число z=(a-a 1 ) + (b-b 1 )i. Пример Пусть z 1 =2-3i, z 2 =1+4i. Тогда: z 1 -z 2 =(2-3i)-(1+4i)=1-7i Вычитание комплексных чисел

Комплексные числа и их применение Произведением комплексных чисел z=a + bi и z=a 1 + b 1 i называется комплексное число z=(aa 1 – bb 1 ) + (ab 1 + ba 1 )i. Пример Пусть z 1 =2-3i, z 2 =1+4i Тогда z 1 z 2 = (2-3i)(1+4i) = 2-3i+8i-12i2 = 2+5i+12 = 14+5i Умножение комплексных чисел

Комплексные числа и их применение Деление определяется, как действие, обратное умножению. Пример Деление комплексных чисел

Комплексные числа и их применение Пример 1 Даны комплексные числа z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 – 7i. Найти: а) z 1 + z 2 ; б) z 1 – z 2 ; в) z 1 z 2. Примеры решения заданий с комплексными числами

Комплексные числа и их применение Решение: а) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i; б) z 1 – z 2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – i в) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2= 10 –14i + 15i + 21 = (10+21)+(– 14i+15i)=31+i. (Здесь учтено, что i 2 = – 1).

Комплексные числа и их применение Пример 4 Даны комплексные числа z1= 4 + 5i и z2= 3 + 4i. Найти частное. Решение:

Заключение Проанализировав множество математической литературы, я изучила тему «Комплексные числа». Комплексные числа в настоящее время используют для решения задач, связанных с самолетостроением и аэромеханикой, а также используются для расчета различных конструкций на прочность. Это говорит о том, что актуальность их с каждым годом возрастает. Также, с помощью комплексных чисел можно решать на первый взгляд не решаемые задачи. Для этого необходимо ознакомиться с некоторыми действиями, применяемыми для комплексных чисел, которые я освоила и теперь могу решать подобные задачи. Я достигла своей цели и выполнила поставленные перед собой задачи. Кроме того в работе предоставила глоссарий и анкета для учащихся «Насколько я понимаю тему комплексные числа». глоссарийанкета

Результаты анкетирования

Спрашивается : « А кому это надо ?» В первую очередь конечно мне. А если посмотреть серьезно, то материал предоставленный в моей работе прекрасно подойдет для педагогов, в качестве материала для подготовки кружковых, факультативных занятий, разработки элективных курсов классов и конечно для учащихся, которые желают не ограничиваться рамками школьной программы и жаждут нового и интересного!

Список литературы Большая школьная энциклопедия. Точные науки класс. Маркова Л.Б. издательство «Олма-пресс» Москва 2004г. Высшая математика. Учебник для ВУЗов. Шипачев В.С. Москва 2007г. Высшая математика. Ильин В.А. Куркина А.В. Издательство «Проспект»2002г. Люди науки. С.В. Ковалевская. Книга для учащихся. Кончина П.Я. Издательство «Просвещение» Москва 1986г Математика после уроков. Пособие для учителей. Балк М.Б. Издательство «Просвещение» Москва 1971г Сборник. Все для студентов и аспирантов гг. (диск) Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Диткин В.А. Издательство «Просвещение» Москва 1965г. Факультативные курсы по математике для классов. Атанесян Л.С. научно-исследовательский институт школ Министерство народного образования РСФСР 1989г. Элементы высшей математики. Учебник для ССУЗов. Второе издание. Григорьев В.П. Москва 2006г.