Автор работы: Пищев Алексей Владимирович учащийся 8 б класса МОУ Айская СОШ Руководитель: Граф Эмма Райнгольдовна учитель математики. с. Ая 2012 год

Счёт в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора.

Я поставил перед собой проблему: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики. Объект исследования – вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно – математического цикла. Предмет исследования – нестандартные приёмы и навыки устного счёта при умножении натуральных чисел. Цель исследования: быстрый счёт с использованием нестандартных приёмов устного счёта, знание упрощённых приёмов устных вычислений, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц и калькулятора.

1)узнать об упрощённых, нестандартных способах устных вычислений при умножении натуральных чисел. 2)рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов при умножении и делении чисел. Методы исследования: 1) сбор информации; 2) систематизация и обобщение. Актуальность выбранной темы заключается в том, что нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Главное – более или менее продолжительная тренировка. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

1-ый способ - Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. 27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297; 62 х 11= 6 (6+2) 2 = ой способ – Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше10, надо мысленное раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. 86 х 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946. Есть ещё один способ умножения на 11 больших чисел: чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например: 345 х 11 = = х 11 = = 46365

Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. Примеры: 18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792; 42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924; 13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715; 24 х 99 = 24 х 9 х 11 = 216 х 11 = 2376.

Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 т.д. 32 х 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552; 45 х 111 = 4 (4+5) (4+5) 5 = 4995; 26 х 1111 = 2 (2+6) (2+6) (2+6) 6 = ; 52 х 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами. 42 х = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д. Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более х 111 = 5 (5+7) (5+7) 7 = 5 (12) (12) 7 = (5+1) (2+1) 27 = 6327; 86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ х 1111 = 6 (15) (15) (15) 9 = (6+1) (5+1) (5+1) 59 = х = 7 (13)(13)(13)(13)(13)(13) 6 = (7+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1) 36= =

Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число. 32 х 101 = 3232; 47 х 101 = 4747; 54 х 101 = 5454; 93 х 101 = Чтобы трёхзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число. 324 х 1001 = ; 675 х 1001 = ; 869 х 1001 = Другие примеры: 6478 х = ; х =

Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111. Примеры: 24 х 37 = (24 : 3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888; 18 х 37 = (18 : 3) х 111 = 6 х 111 = 666.

Например: 98 х 97 = Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два двузначных числа, близких к 100, то поступай так: 1) найди недостатки сомножителей до сотни; 2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни; 3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни. Вот ещё примеры: х 85 = 7720 = 7820; 88 х 89 = 7732 =

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25 (6 х 7=42. Ответ: 4225) Например:

11 х 11 = х 111 = х 1111 = х = х = х = х = х =

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но больше 50, то поступай так: 1) вычти из этого числа 25; 2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка этого числа над 50. Примеры: 58 2 = 3364 Пояснение. 58 – 25 = 33, 58–50 = 8, 8 2 = 64, 58 2 = = 4096 Пояснение. 64 – 25 = 39, 64 – 50 = 14, 14 2 = 196, 64 2 = 3996 = 4096.

Попробуем это число умножить на 1, 2, 3, 4, 5, х 1 = ; х 4 = ; х 2 = ; х 5 = ; х 3 = ; х 6 = ;

« Сказки 1001-й ночи…» Чем замечательно это число? Оно является произведением простых чисел 7, 11, 13. При умножении числа 1001 на любое трёхзначное число, записанное дважды данным трёхзначным числом. Например, 1001 х 347 = На этом свойстве числа 1001 основаны некоторые «фокусы». Этот принцип умножения используется для угадывания чисел. Мы знаем, что приписывание такого равносильно умножению трёхзначного числа на Например, предлагаю записать любое трёхзначное число к нему приписать такое же число. Затем разделим полученное шестизначное число на 11, затем на 13 и наконец на 7. ( Мы знаем, что 11 х 13 х 7 = 1001, т.е. мы просили учеников разделить число на 1001.) О последнем частном вы сможете сказать: «Это число вы задумали».

3 х 37 = х 3367 = х 37 = х 3367 = х 37 = х 3367 = х 37 = х 3367 = х 37 = х 3367 = х 37 = х 3367 = х 37 = х 3367 = х 37 = х 3367 = х 37 = х 3367 =