Опарина Елена Анатольевна учитель высшей категории, руководитель городского методического объединения учителей математики

Автор: Опарина Е.А. 10 класс (профильный уровень)

«НАЧИНАТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЖНО ПО- РАЗНОМУ... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. ЕСТЬ ИСТИНЫ, как страны, НАИБОЛЕЕ УДОБНЫЙ ПУТЬ К КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... НА ПУТИ К ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ». Denis Diderot Екатерина II Дени Дидро

1. В чем состоит геометрический смысл производной ? 2. В любой ли точке графика можно провести касательную? Какая функция называется дифференцируемой в точке? 3. Касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси ОХ. Следовательно,. 4. Касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси ОХ. Следовательно,. 5. Касательная наклонена под прямым углом к положительному направлению оси ОХ. Следовательно,. 6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней совпадает. Следовательно,. значение производной в точке Х значение производной в точке Х тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ угловой коэффициент касательной угловой коэффициент касательной f ´(x) = tg α = к

для дифференцируемых функций : 0° α ˂180°, α 90° вопросы α - тупой tg α < 0 f ´(x) < 0 α – острый tg α >0 f ´(x ) >0 α = 90° tg α не сущ. f ´(x ) не сущ. α = 0 tg α =0 f ´(x ) = 0

х max х max х min х min х min Не сущ. Не сущ. 000

ВЫДВИГАЕМАЯ ГИПОТЕЗА ВЫДВИГАЕМАЯ ГИПОТЕЗА Что выяснили? существует связь Свойства f(x): Свойства f '(x): возрастания, убывания, точки минимума, точки максимума существование, нули, знакопостоянство План действий 1. Анализ наблюдений (фактов). 2. Обобщение фактов. 3. Проверка и выдвижение нового плана действий. Какая?

1 Какими из перечисленных свойств обладают заданные на промежутке (a, b ) функции, графики которых будут представлены ниже. А. Функция возрастает. Б. В каждой точке можно провести касательную. В. В каждой точке f ´(x) 0. Г. В каждой точке касательная наклонена под острым углом. Д. Существует конечное число точек, в которых f ´(x) = 0. Е. Существует конечное число точек, в которых f ´(x) не существует. ПРОВЕРКА ПРОВЕРКА ПРОВЕРКА ПРОВЕРКА ПРОВЕРКА

2 Какие из заданных на промежутке (a, b ) функций, графики которых будут представлены ниже, обладают указанными свойствами? ПРОВЕРКА А. Функция убывает на (a, b ). 1 5 Б. В каждой точке (a, b ) можно провести касательную В. В каждой точке (a, b ) f ´(x) Г. В каждой точке (a, b ) касательная наклонена под тупым углом. 5 Д. Существует конечное число точек на (a, b ), в которых f ´(x) = 0. 1 Е. Существует конечное число точек на (a, b ), в которых f ´(x) не существует. 3 4

3 Используя принцип игры в «Домино», расположите картинки так, чтобы утверждение описывало свойство точки Х.

Е с л и свойства f(x): функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную проходя через точку х, f ´(x) меняет знак с « - » на « + » 1 функция убывает на промежутке и имеет на нем производную 2 проходя через точку х, f ´(x) меняет знак с « +» на « - » функция возрастает на промежутке функция убывает на промежутке неверно, что f ´(x) ˃ 0 неверно, что f ´(x) ˂ 0 f ´(x) 0 в точке Х функция имеет экстремум Х - точка минимума функции f ´(x) 0 Х - точка максимума функции f ´(x) = 0 или f ´(x) не существует ПОМОЩЬПОМОЩЬ свойства f '(x):

Возможны случаи : 1 АБ 2 Ж ГВ Д Е Ё З И 3 Для проверки нажать указателем номер задания ТАБЛИЦАТАБЛИЦА

I. свойства f(x): свойства f '(x): II. свойства f(x): свойства f '(x): 1 функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную f ´(x) 0 f ´(x) 0 функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную Утверждение верно ??? Почему ???

I рядII рядIII ряд §44, п.1, стр. 353 §44, п.2, стр.355, 357 §44, п.2, стр.360, 362 Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, Среди выделенных утверждений укажите те, которые удовлетворяют одной из предложенных схем. Дайте объяснения по принятому решению. I. II. III. свойства f(x): свойства f '(x): свойства f '(x): свойства f(x): свойства f(x): свойства f '(x):

интегральное исчисление Архимед из Сиракуз (287г.до н.э г. до н.э. древнегреческий ученый Ферма Пьер ( ) французский математик Исаак Ньютон ( ) английский учёный Жозеф Луи Лагранж ( ) французский математик и механик дифференциальное исчисление Готфрид Лейбниц ( ), немецкий философ и математик. "Без настоящих единиц не может быть и множества." «Новый метод максимумов и минимумов» Эпоха Просвещения Петр I Россия Ньютон рококо арифмометр кратер на Луне подводная лодка «Философский век» Петр Первый Образец архитектуры Рококо в Германии. Дворец в Брюле. Арифмометр Лейбница в работе.

Что выяснили?Что сделали? Необходимое условие Достаточное условие Необходимое и достаточное условие 1. Существует связь между свойствами функции (монотонность, экстремумы) и значениями производной (существование, знакопостоянство, нули). 2. Провели анализ фактов по существующей связи. 3. Провели обобщение наблюдений. 4. Познакомились с математическими «портретами». 5. Познакомились с историзмом проблемы. 6. Наибольшее практическое применение имеет обратная связь. План 1. Изучить обратную связь. 2. Научиться её применять к решению задач.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ 9 класс Автор: Опарина Е.А.

УСТНАЯ РАБОТА Решите уравнение: Сколько корней имеет линейное и квадратное уравнение?

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения первой степени) В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде и т.д. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ Новый великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого XVI в. Франсуа Виета. Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (x, y или z) мы обязаны его соотечественнику – Рене Декарту.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения второй степени) Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. Формулу корней квадратного уравнения называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения третьей степени) Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древнего Египта, то кубические уравнения оказались «крепким орешком». И всё же усилиями итальянских алгебраистов метод их решения был найден, а формула для их решения носит имя Кардано.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения четвертой степени) Метод решения уравнений четвертой степени нашёл в XV в. Лудовико Феррари, ученик Джерола- мо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения высших степеней) А есть ли общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на этот вопрос сумел найти норвежский математик Абель в начале XIX в., а чуть раньше его – итальянец Паоло Руффини: таких формул не существует.

Одним из приемов решения уравнений высших степеней является разложение на множители. ПРИМЕР: решить уравнение. Как называется способ, с помощью которого можно разложить левую часть уравнения на множители? Когда произведение множителей равно 0? Сколько корней имеет данное уравнение? Как вы думаете, может ли уравнение третьей степени иметь 1, 2, 4, 5 корней или ни одного корня?

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1 УРОВЕНЬ 352: б) -2; 2,5; 5. г) 0; 0,1; 1. д) 0; -1/3; 1/3; 4. е) 0; 4. 2 УРОВЕНЬ 356: а) -2; 0; 2. б) 0; 1. в) -1; 0. г) 0; 1; 3. д) -9; 0; 9. е) -3; -2; 0.

УСТНАЯ РАБОТА Найдите корни уравнений: Назовите степень каждого уравнения.

371. Соотнесите график с формулой.

Другим приемом решения уравнений высших степеней является введение новой переменной. ПРИМЕР: решить уравнение Введем новую переменную: Получим уравнение: Решим данное уравнение: Найдем переменную x:

Задание 1 Составь смешанное число и перейди к неправильной дроби.

Задание 2 Изучи каждый рисунок, составь неправильную дробь и перейди к смешанному числу.

Задание 3 Прочитай правильные дроби, неправильные дроби, смешанные числа. Дай определение правильной и неправильной дроби.

Задание 4 Определи координаты обозначенных точек на координатном луче. Что называют координатным лучом?

Задание 5 Расположи дроби в порядке возрастания с соответствием букв, и ты прочтешь имя древнегреческого ученого – основателя библиотеки в городе Александрии, жившего в Древнем Египте во II веке до н.э. Он впервые высказал предположение о том, что Земля имеет круглую форму. 13 / 2421 / 246 / 243 / 248 / 2423 / 2422 / 2419 / 244 / 24 ОФАЭТНЕСР