Алгебра логики (булева алгебра) - это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Джордж Буль

Логическое высказывание это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Так, например, предложение " Трава зеленая" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение " Лев - птица" тоже высказывание, так как оно ложное.

Не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика интересный предмет".

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если..., то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний "Петров врач", "Петров шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров врач и шахматист", понимаемое как "Петров врач, хорошо играющий в шахматы".

При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В высказывание "Тимур летом отправится в горы".

Тогда составное высказывание "Тимур летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и В. Здесь "и" логическая связка, А, В логические переменные, которые могут принимать только два значения - "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".

НЕ Операция, выражаемая словом "не", называется инверсией или отрицанием и обозначается чертой над высказыванием.

Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна спутник Земли" (А); "Луна не спутник Земли" (А).

И Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio соединение) или логическим умножением и обозначается точкой ". " (может также обозначаться знаками /\ или &).

Высказывание А · В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" ложны.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом).

Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" истинны.

ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками "если..., то", "из... следует", "... влечет...", называется импликацией (лат. implico тесно связаны) и обозначается знаком. Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы: 1. Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") - формулы. 2. Если А и В - формулы, то А, А · В, А v В, А B, А В - формулы. 3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

Логический элемент компьютера это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, ИНЕ, ИЛИНЕ и другие.

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Схема И Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. & X Y F=X·Y

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль. Таблица истинности схемы И XYX*Y

С х е м а ИЛИ Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. X Y F=X+Y 1

Таблица истинности схемы ИЛИ xyx v y Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ бу дет единица, на её выходе также будет единица.

С х е м а НЕ Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом x этой схемы и выходом F можно записать соотношением F = x где х читается как "не x" или "инверсия х". XF=X 1

Таблица истинности схемы НЕ xx Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0.

С х е м а ИНЕ Схема ИНЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И. Связь между выходом F и входами x и y схемы записывают следующим образом: F=x·y, где x·y читается как "инверсия x и y". X F=X·Y & Y

Таблица истинности схемы ИНЕ xyX*Y

С х е м а ИЛИНЕ Схема ИЛИНЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ. Связь между выходом F и входами x и y схемы записывают следующим образом:F=x+y, где x+y, читается как "инверсия x или y ". X F=X+Y 1 Y

Таблица истинности схемы ИЛИ НЕ xyX+Y

Триггер это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое двоичному нулю.

Самый распространённый тип триггера так называемый RS- триггер (S и R, соответственно, от английских set установка, и reset сброс) S R Q Q

Сумматор это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел. Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

Многоразрядный двоичный сумматор