Как извлечь корень? Выполнила: Шевелёва Татьяна,8а класс Учитель: Шевелёва С.В.

Десять страниц математики понятой лучше ста страниц, заученных на память и непонятных, а одна страница, самостоятельно проработанная, лучше десяти страниц, понятых отчётливо, но пассивно. Юнг Д.

Цель работы: Рассмотреть способы нахождения приближённых значений арифметического квадратного корня без использования таблиц и калькуляторов.

Актуальность работы: Сейчас мы не можем представить себе свою жизнь без использования калькуляторов. Мы их применяем при решении самых различных задач, в том числе и для извлечения квадратного корня из различных чисел. Но ведь калькуляторы появились в конце XX века, поэтому мне стало интересно, как же извлекали квадратные корни из чисел до появления калькуляторов.

Немного истории Некоторые немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Например, 25

Позднее вместо точки ставили ромбик, 25

Впоследствии ставили знак и над выражением, из которого извлекался корень, проводили черту. 25

Затем знак и черту стали соединять:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. = 2, т. к. 2² = 4, = 7, т. к. 7² = 49, = 1,1, т. к. 1,1² = 1,21 = ?

А как же быть, если нужно извлечь ? Несколько способов: воспользоваться калькулятором; воспользоваться таблицей В.М. Брадиса; Воспользоваться алгоритмом извлечения «вручную».

Рассмотрим несколько алгоритмов извлечения «вручную»

1-й алгоритм извлечения «вручную»: Найдём приближённое значение. Так как 1² < 2 < 2 ², то 1 < < 2. Значит, 1,…. Найдём цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3; и т.д., пока не получим число, большее 2. 1,1² = 1,21; 1,2² = 1,44; 1,3² = 1,69; 1,4² = 1,96; 1,5² = 2,25. Так как 1,4² < 2 < 1,5²,то 1,4 < < 1,5, значит 1,4….

1-й алгоритм извлечения «вручную»: Итак, = 1,4… Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; 1,43; и т.д. 1,41² = 1,9881; 1,42² = 2,0164 Получили 1,41 < < 1,42. Значит, = 1,41…. Продолжая этот процесс, найдём что десятичная запись числа начинается так: 1,414…. Поэтому 1,414.

2-й алгоритм извлечения «вручную»: Пусть надо извлечь, или иначе говоря, решить квадратное уравнение х² = 2. Разделим правую и левую части уравнения на х: х =. Получается, что извлечь корень – это то же самое, что разделить данное число на другое число, но делитель надо найти такой, чтобы он был равен частному. Попробуем – наугад – разделить 2 на 1,5:

2-й алгоритм извлечения «вручную»: Попробуем – наугад – разделить 2 на 1,5: _2 1,5 1,5 1,33… _ Мы взяли делитель 1,5, частное получилось 1,33. Эти числа, к сожалению, не равны, одно велико, другое мало. Возьмём приближённое значение их среднего арифметического: (1,5+1,33):2 = 1,415.

2-й алгоритм извлечения «вручную»: (1,5+1,33):2 = 1,415 Будем теперь делить 2 на это число: _2 1,415 1,415 1,4134 _ _ _ _ На этот раз первые три цифры делителя и частного совпали, это и есть первые три цифры = 1,41…. Опять действуем по тому же правилу: ( ,4134 ) : 2 = 1,4142

2-й алгоритм извлечения «вручную»: ( ,4134 ) : 2 = 1,4142 _2 1,4142 1,415 1, _ _ _ _ Теперь уже совпали пять цифр, т.е. = 1,4142….

2-й алгоритм извлечения «вручную»: Итак, теперь уже совпали пять цифр, т.е. = 1,4142…. Достаточно вам такой точности? Если да, то остановитесь, если нет – делите 2 на 1,41421, т. е. на полусумму новых делителя и частного.

3-й алгоритм извлечения «вручную»: Пусть надо извлечь квадратный корень из числа 6118,99. Поступать будем следующим образом. Разобьём данное число на группы по две цифры в каждой, считая от запятой влево. 18, 99 =

3-й алгоритм извлечения «вручную»: 18, 99 = 7… Подберём число, квадрат которого является 49 ближайшим к двум цифрам левой грани ( 7² = 49 < 61), запишем его справа от знака равенства, квадрат этого числа запишем ниже числа, из которого извлекается корень, вычтем этот квадрат ( как при делении чисел).

3-й алгоритм извлечения «вручную»: 18, 99 = 78, 223… Число, записанное справа от 49 знака равенства, удвоим и 148 _ запишем слева от разности (7· 2 = 14 ) _34 99 Припишем теперь к этому произведению такую цифру _ (её же припишем и к уже записанным цифрам корня), _ чтобы произведение (148 · 8 = = 1184) было возможно ближе к записанной ранее разности - это снова напоминает обычное деление. Будем продолжать этот процесс, пока не достигнем необходимой нам точности.

Вывод: Существуют различные способы извлечения квадратного корня без использования таблиц и калькуляторов. Они способствуют развитию логического мышления и повышают интерес к математике.

Литература: «Школьникам о математике и математиках» Пособие для учащихся 4-8классов средней школы Составитель М.М.Лиман Москва «Просвещение» 1981 «История математики в школе VII – VIII классы» Г.И.Глейзер Пособие для учителей Москва «Просвещение» 1982 «Арифметика и алгебра в древнем мире» М.Я.Выгодский Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы Москва 1967 «За страницами учебника алгебры» Л.Ф.Пичурин Книга для учащихся 7-9 классов средней школы Москва «Просвещение» 1990