8 класс © Федорова Татьяна Федоровна, 2009

Содержание 1.Определение квадратичной функцииОпределение квадратичной функции 2.Функция y=x 2Функция y=x 2 3.Функция y=ax 2 (a>0)Функция y=ax 2 (a>0) 4.Функция y=ax 2 (a

Функция y=ax 2 +bx+c, где a, b и c заданные действительные числа, a0, x – действительная переменная, называется квадратичной функцией. Примеры: Площадь квадрата y со стороной x вычисляется по формуле Площадь квадрата y со стороной x вычисляется по формуле y=x 2. y=x 2. Если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется формулой:Если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется формулой: где s 0 – расстояние от тела до поверхности земли в момент времени t=0. где s 0 – расстояние от тела до поверхности земли в момент времени t=0.

x y=x y=x 2 Парабола x y Ветви параболы Вершина параболы Если при x 2 > x 1 y 2 > y 1, то функция является возрастающей Если при x 2 > x 1 y 2 < y 1, то функция является убывающей Ось симметрии параболы x1x1 x2x2 y2y2 y1y1 x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 (3;9) (-3;9) 16

x y=2x y=x y=ax 2 x y y=2x 2 y=x График функции y=2x 2 можно получить из параболы y=x 2 растяжением от оси x в 2 раза.

x y= x 2 4,520,50 24,5 y=x y=ax 2 x y y= x График функции y= x 2 можно получить из параболы y=x 2 сжатием к оси x в 2 раза.

x y=-x y=- x 2 -4,5-2-0, ,5 y=x y=ax 2 x y y=x2y=x2 y=-x График функции y=-x 2 можно получить из параболы y=x 2 симметричным отражением относительно оси x.

x y y= x 2 y=- x ,5 -4,5 Аналогично график функции y=- x 2 симметричен параболе y= x 2 относительно оси x.

График функции y=ax 2 при любом a0 также называют параболой. При a>0 ветви параболы направлены вверх, а при a 0 ветви параболы направлены вверх, а при a0, то функция y=ax 2 принимает положительные значения при x0; если a

x y=x 2 -2x y=x y=ax 2 +bx+c x y y=x 2 -2x+3 y=x 2 0 y=x 2 -2x+3= =x 2 -2x+1+2= =(x-1) y=(x 2 -1) 1 2 Каждую точку графика функции y=(x-1) 2 можно получить из соответствующей точки параболы y=x 2 с помощью параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси x График функции y= (x-1) 2 +2 можно получить в результате сдвига на 2 единицы вверх графика функции y= (x-1) 2 y=(x-1)

x y y=0,5x 2 y=0,5x 2 +2x График функции y=a(x+m) 2 +n можно получить из графика функции y=ax 2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на |m| единиц вправо, если m>0, или на |m| единиц влево, если m0, или на |n| единиц вниз, если n

Любую квадратичную функцию y=ax 2 +bx+c выделением полного квадрата можно записать в виде или где

Таким образом, графиком функции y=ax 2 +bx+c является парабола, получаемая сдвигом параболы y=ax 2 вдоль координатных осей.Таким образом, графиком функции y=ax 2 +bx+c является парабола, получаемая сдвигом параболы y=ax 2 вдоль координатных осей. Равенство y=ax2+bx+c называют уравнением параболы.Равенство y=ax2+bx+c называют уравнением параболы. Координаты (x 0 ; y 0 ) вершины параболы y=ax2+bx+c можно найти по формуламКоординаты (x 0 ; y 0 ) вершины параболы y=ax2+bx+c можно найти по формулам Ось симметрии параболы y=ax 2 +bx+c – прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы.Ось симметрии параболы y=ax 2 +bx+c – прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы. При a>0 ветви параболы направлены вверх, а при a 0 ветви параболы направлены вверх, а при a

x y Построение графика Построение графика y=ax 2 +bx+c y=x 2 -4x+3 1. Координаты вершины параболы: x 0 =2, y 0 =-1. x 0 =2, y 0 = Ось симметрии параболы – прямая, проходящая через точку (2; -1), параллельная оси ординат. 3. Решение уравнения x 2 -4x+3=0 – нули функции: x 1 =1, x 2 =3. x 1 =1, x 2 =3. 4. Две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x=2, например x=0 и x=4, y(0)=y(4)=3. y(0)=y(4)=3.

По такой схеме можно построить график любой квадратичной функции y=ax 2 +bx+c: 2. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы. 3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. 4. Построить две точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x 0 (x0), и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например: x=0 и x=2x 0 (ординаты этих точек равны c). 5. Провести через построенные точки параболу. 1. Построить вершину параболы (x 0 ; y 0 ), вычислив x 0, y 0 по формулам:

Проверь свои знания Как называется график квадратичной функции?Как называется график квадратичной функции? Обладает ли график квадратичной функции свойством симметрии?Обладает ли график квадратичной функции свойством симметрии? Как можно определить направление ветвей параболы без построения графика квадратичной функции?Как можно определить направление ветвей параболы без построения графика квадратичной функции? В какой точке находится наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции?В какой точке находится наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции?