МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Проект выполнили учащиеся 11 «А» класса МОУ «Гимназия 4»: Круглякова Екатерина Круглякова Екатерина Швачкина Марина Швачкина Марина Руководитель: Егорова Л. Н.

Колебания восход и заход Солнца, волнения на море, колебания маятника часов, переменный электрический ток, электромагнитные волны) В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими или почти периодическими процессами (восход и заход Солнца, волнения на море, колебания маятника часов, переменный электрический ток, электромагнитные волны), которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными.

Признаки колебания Колебательные явления обладают общими чертами и даже подчиняются одинаковым закономерностям, несмотря на то, что они могут иметь совершенно разную физическую природу. Характерная черта колебательных движений, отличающая их от других явлений, состоит в том, что они многократно повторяются или приблизительно повторяются через определенные промежутки времени.

Механические колебания Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t).

Механические колебания Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник. h L F mg k x F упр

Свободные и вынужденные колебания Механические колебания могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

Свободные колебания колебания груза на пружине колебания маятника

Собственные колебания Пусть на пружине жесткостью k подвешен груз m. Рассмотрим вертикальное движение груза, которое будет происходить под действием силы упругости пружины и силы тяжести, если вывести систему из состояния равновесия и предоставить самой себе.

Поместим начало отсчета на направленной вниз оси x в точку, соответствующую равновесному положению груза. В этом положении благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину x 0,определенную соотношением mg = kx 0 mg = kx 0 x0x0 x 0

x0x0 x 0 При смещении x груза из положения равновесия проекция действующей на тело со стороны пружины сила упругости равна –k(x+ x 0 ) в соответствии с законом Гука. Обозначим проекцию ускорения груза a, равную второй производной смещения x по времени, через x".

Тогда второй закон Ньютона для груза запишется в виде mx" = -k(x + x 0 ) + mg, mx" = -kx Введем обозначение x0x0 x 0

Теперь уравнение движения принимает окончательный вид: mx" + x=0 x0x0 x 0 К точно такому же уравнению мы придем, рассматривая малые колебания около положения равновесия самых разных физических систем

Математический маятник Математический маятник – материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити.

Физический маятник Физический маятник – любое твердое тело, которое может поворачиваться вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести.

ΰ Крутильный маятник Крутильный маятник – диск или коромысло, подвешенное на упругой нити.

Гармонические колебания Периодические изменения физической величины во времени по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями. Гармонические колебания описываются уравнением: или

x - смещение тела от положения равновесия x m - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия - циклическая или круговая частота колебаний t - время - начальная фаза - фаза гармонического процесса t, с x, см xmxm -x m

Период и частота гармонических колебаний Минимальный промежуток времени Т, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебаний. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний. Частота колебаний показывает, сколько колебаний совершается в единицу времени. Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

График гармонических колебаний t, с x, см xmxm -x m Т2ТТ/2Т/23Т/2 0

Изменения на графике гармонического процесса t, с x, см xmxm -x m Т2ТТ/2Т/23Т/2 0 Изменение амплитуды: x m -x m x m > x m

Изменения на графике гармонического процесса t, с x, см xmxm -x m Т2ТТ/2Т/23Т/2 0 Изменение периода: Т2Т3Т4Т

Изменения на графике гармонического процесса t, с x, см xmxm -x m Т2ТТ/2Т/23Т/2 0 Изменение начальной фазы:

Энергетические превращения При механических колебаниях груза на пружине происходит периодическое превращение кинетической энергии движущегося груза E к и потенциальной энергии E п системы, которая состоит из потенциальной энергии деформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести. При механических колебаниях груза на пружине происходит периодическое превращение кинетической энергии движущегося груза E к и потенциальной энергии E п системы, которая состоит из потенциальной энергии деформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести.

Потенциальная энергия деформированной пружины пропорциональна квадрату ее удлинения (x + x 0 ) и, следовательно, равна k(x + x 0 ) 2 /2. Потенциальная энергия груза в поле тяжести равна –mgx+C.

Выберем для удобства произвольную постоянную C таким образом, чтобы полная потенциальная энергия системы была равна нулю в положении равновесия:

Тогда /2 и потенциальная энергия системы Eп в произвольной точке x выражается формулой

Так как mg = kx 0, то получим, что Полная энергия системы E= Eк + Eп при колебаниях остается неизменной, так как система консервативна.

В этом можно убедиться и непосредственно, подставляя смещение x и скорость v в выражение для энергии:

Так как,то

Из последней формулы видно, что неизменная полная энергия системы Е совпадает с потенциальной энергией Eп в точках наибольшего отклонения от положения равновесия и совпадает с кинетической энергией Eк при прохождении груза через положение равновесия. При взаимных превращений потенциальная и кинетическая энергия совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой E/2 в противофазе друг с другом и с частотой

Чтобы убедиться в этом, преобразуем выражения для кинетической и потенциальной энергий с помощью формул для тригонометрических функций половинного аргумента:

На рисунке приведены графики зависимости от времени смещения груза x(t), кинетической энергии E к (t) и потенциальной энергии E п (t). x(t) A 0 E/2 t E к (t) 0 t 0 t E п (t) E/2

Превращение энергии Переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно в процессе колебания грузика на пружине Переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно в процессе колебания грузика на пружине

Выводы: Механические колебания - это движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени; Колебательное движение может быть представлено в математической форме с помощью соотношения Колебательное движение может быть представлено в математической форме с помощью соотношения mx" + x=0; Гармонические колебания в механике представляют собой периодические изменения смещения и скорости по закону синуса или косинуса; При механических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии движущегося тела в потенциальную энергию E п системы. При механических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии движущегося тела в потенциальную энергию E п системы.