Тема урока: Геометрическая интерпретация при решении уравнений, содержащих знак модуля МОУ «Осташевская средняя общеобразовательная школа», учитель математики Качайкина Н.Б.

Основные понятия Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а). Модуль числа 5 равен 5. Пишут: |5| = 5. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6. Модуль числа не может быть отрицательным. Противоположные числа имеют равные модули: | -а | = | а |

Расстояние между двумя точками На координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца. ВС = 5 – 1 = 4; АС = 5 – (- 2) = 7; AD = - 2 – (- 4) = DABC

М о д у л ь и расстояние между двумя точками CD = - 4 – 5 = 5 – (- 4 ) = 9 AB = 3 – 8 = 8 – 3 = 5 MN = - 9 – (- 3 ) = - 3 – (- 9 ) = 6 MN CD AB Формула расстояния между двумя точками координатной прямой с координатами х и а: ρ(x,a) = |x - a|

Решите уравнения: | х-2 | = 3, | 3х+6| = 4, | х-3 | + | х-1 | = 5, | х+4| + | х-5| = 9, | 2х-3| + | 2х+3| = 6, | х+5| - | х-8 | = 13, | х+4| - | х-3 | = 1, | 3х-8| - | 3х-2| = 6. | х+7| = | х-5 |

П р о в е р ь с е б я Сколько решений может иметь уравнение | х-4 | = а, в зависимости от значений а? Сколько решений может иметь уравнение | х+3 | +| х-1 | = а, в зависимости от значений а? Сколько решений может иметь уравнение | х+3 | -| х-1 | = а, при положительных значениях а?

Число решений уравнения вида: Ι х – a Ι + Ι х – в Ι = с Если сумма модулей с больше расстояния между двумя точками а и в, то уравнение имеет два решения. Если сумма модулей равна расстоянию между двумя точками, то уравнение имеет множество решений, которые принадлежат отрезку между точками [ a; в ]. Если расстояние между двумя точками меньше суммы модулей, то решений нет.

Домашняя работа Исследовать уравнения и определить число корней в зависимости от значения а : | х – 4 | - | х +2 | = а, | х+1 | - | х - 6 | = а, | х – 3 | - | х - 8 | = а. С п а с и б о за в н и м а н и е.

П р о в е р ь с е б я Сколько решений может иметь уравнение | х-4 | = а, в зависимости от значений а? Ответ: а) Если а=0, то уравнение имеет одно решение; б) Если а>0, то уравнение имеет 2 корня, в) Если а

П р о в е р ь с е б я Сколько решений может иметь уравнение | х+3 | +| х-1 | = а, в зависимости от значений а? Ответ: а) Если а=4, то уравнение имеет множество решений – отрезок [-3;1], б) Если а>4, то уравнение имеет 2 корня, в) Если а

П р о в е р ь с е б я Сколько решений может иметь уравнение | х+3 | -| х-1 | = а, при положительных значениях а? Ответ: а) если а = 4, то уравнение имеет множество решений –[1; +), б) если 0 < а < 4, то уравнение имеет 1 решение, которое лежит внутри отрезка [-3;1], в) если а > 4, то уравнение не имеет решений.

Решение уравнения |х - 2|=3 Решить уравнение : х – 2 = 3, значит найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию ρ (х;2)= 3; другими словами удалены от точки с координатой 2 на расстояние 3. Ответ: -1 ; 5. х 5 х 2 х 33

| х - 3 | = ρ ( x, 3) ; | х - 1 | = ρ ( x, 1) Нужно найти такую точку Х(х), что : ρ ( x, 3 ) + ρ ( x, 1 ) = 5. ρ (3, 1) = 2, 2 < 5, следовательно, точка с координатой х находиться вне отрезка [ 1; 3 ] и таких точек две. 1 3 Ответ: [ - 0,5 ; 4,5]. -0,5 х 4,5 х 2) 3,5 + 1,5 = 5 1 ) 1,5 + 3,5 = 5 Решение уравнения |х-3|+|х-1|=5

| х + 4 | = ρ ( x, -4) ; | х - 5 | = ρ ( x, 5) Нужно найти такую точку Х(х), что : ρ ( x, -4 ) + ρ ( x, 5 ) = 9. ρ (-4, 5) = 9, 9 = 9, следовательно, все точки этого промежутка удовлетворяют условию уравнения Х Ответ: [- 4; 5]. -4 х 5 х = 9 Решение уравнения |х+4|+|х-5|=9

| 2х - 3 | = ρ ( 2x, 3) ; | 2х + 3 | = ρ ( 2x, -3) Нужно найти такую точку, что : ρ ( 2x, 3 ) + ρ ( 2x, -3 ) = 6. ρ (3, -3) = 6, 6 = 6, следовательно, все точки этого промежутка удовлетворяют условию уравнения 2х = -3 2х = 3 х = -1,5 х = 1,5 Ответ: [-1,5; 1,5]. -3 2х 3 Решение уравнения |2х-3|+|2х+3|=6

Решение уравнения |х+5| - |х-8| = 13 ρ(-5; 8) = 13, ρ(х; -5) > ρ(х; 8) ρ(х; -5) - ρ(х; 8) = 13 это множество точек координатной прямой, расположенных правее числа 8. Ответ: х [8; + ) ρ(х; -5) ρ(х; 8) //////////////////////////// -5 8х 13

Решение уравнения | х+4 | - | х-3 | = 1 ρ ( x, -4 ) - ρ ( x, 3 ) = 1, где ρ ( x, -4 ) > ρ ( x, 3 ) ρ (-4, 3) = 7, 7 > 1, следовательно, точка с координатой х находиться внутри отрезка [ -4; 3 ] и такая точа одна. -3 Ответ: х ρ(х; -4) 0 ρ(х; 3)

Решение уравнения |3х-8| - |3х-2| = 6 ρ(8; 2) = 6, ρ(3х; 8) > ρ(3х; 2) ρ(3х; 8) - ρ(3х; 2) = 6 это множество точек координатной прямой, расположенных левее числа 6. ρ(3х; 8) 3х < 2 х < 2/3 6 Ответ: х (- ; 2/3 ] 2 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 8 3х ρ(3х; 2)

| х + 7 | = ρ ( x, -7) ; | х - 5 | = ρ ( x, 5) Нужно найти такую точку Х(х), что : ρ ( x, -7 ) = ρ ( x, 5 ). ρ (-7, 5) = 12, следовательно, середина промежутка [-7;5] удовлетворяет условию уравнения ρ (-7, 5) = 12 Х Ответ: Решение уравнения |х+7|=|х-5|