Анализ процессов в электромеханических системах классическим методом

Три метода Решение систем дифференциальных уравнений и соответственно анализ процессов в электромеханических системах осуществляют с использованием трех методов: Классический метод; Операторный метод; Метод переменных состояний.

Решения системы дифференциальных уравнений на примере RLC-цепи Схема RLC-цепи при подключении к источнику постоянного напряжения имеет следующий вид:

Составим Систему Дифференциальных Уравнений, описывающую процессы в данной цепи.

Представим СДУ в нормальной форме Коши:

Запишем СДУ в матричной форме:

где - матрица коэффициентов перед переменными состояния цепи

- вектор свободных членов СДУ; - Вектор переменных состояний

Определение корней СДУ Запишем однородную СДУ в виде:

Составим характеристическое уравнение введем обозначения

Тогда характеристическое уравнение можно записать в виде: Решение этого уравнения имеет следующий вид

Предположим, что корни характеристического уравнения действительные и разные : Отметим, что для устойчивости динамической системы необходимо, чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными.

Найдем собственные вектора для каждого собственного значения матрицы A. Для значения λ 1 = a алгебраическая система уравнений будет выглядеть следующим образом:

или Примем значение h 1 λ1 =1 и определим h 2 λ1 из второго уравнения системы:

Собственный вектор для первого собственного значения матри- цы A : Аналогично будет находиться собственный вектор и для второго собственного значения матрицы A :

Общее решение однородной СДУ x 0 (t) запишется в виде: или

Можно записать отдельно выражения для каждой неизвестной временной функции: И

Предположим, что корни характеристического уравнения ком- плексно сопряженные: В этом случае собственный вектор ищется только для одного из этих значений. Найдем собственный вектор для λ 1 = α + jβ :

Принимаем h1 λ1 =1 и находим h2 λ1 из второго уравнения системы:

Общее решение однородной СДУ в этом случае запишется в виде:

Запишем каждую компоненту общего решения отдельно:

Найдем составляющие общего решения однородной СДУ. По формуле Эйлера для комплексных чисел:

тогда Для разделения вещественной и мнимой частей второй составляющей h2 λ1 собственного вектора домножим числитель и знаменатель h2 λ1 на число, комплексно сопряженное знаменателю h2 λ1 :

Учитывая формулу умножения комплексно сопряженных чисел друг на друга, запишем:

Общее решение однородной СДУ:

Вывод Сравнивая результаты общего решения однородной СДУ при действительных и комплексно сопряженных корнях, можно отметить, что в первом случае переходные процессы в ЭМС имеют апериодический характер, а во втором случае – затухающий колебательный.

Частное решение СДУ Найдем частное решение неоднородной СДУ при подстановке в исходную СДУ значения t = :

Найдем решение этой СЛАУ методом Крамера.

Тогда получим Полученное частное решение неоднородной СДУ легко объясняется физически – конденсатор заряжается до напряжения источника питания E, а ток в цепи после окончания переходного процесса становится равным нулю, так как при работе на постоянном токе конденсатор представляет собой разрыв цепи.

Этапа определения постоянных интегрирования Нахождение постоянных интегрирования осуществляют путем подстановки в общее решение неоднородной СДУ значения t = 0 и последующего решения получившейся СЛАУ. Решим задачу Коши для обоих случаев собственных значений матрицы A – действительных и комплексно сопряженных

Действительные отрица- тельные корни Найдем постоянные интегрирования при действительных отрицательных собственных значениях матрицы A : λ 1 = a, λ 2 = b. Общее решение неоднородной СДУ в этом случае имеет вид

При t = 0 и нулевых начальных условиях, то есть i (0) = 0, U C (0) =0. Запишем получившуюся СЛАУ:

Перенесем свободные члены: Решим эту СЛАУ методом Крамера:

тогда Запишем компоненты общего решения неоднородной СДУ: - для тока

для напряжения на емкости

Комплексные сопряженные корни Определим постоянные интегрирования при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения: λ 1,2 = α ± jβ. Общее решение неоднородной СДУ имеет в этом случае следующий вид:

Общее решение неоднородной СДУ

При t = 0 и нулевых начальных условиях, то есть i (0) = 0, U C (0) =0. Запишем получившуюся СЛАУ Перенесем свободные члены, а также учтем, что h1 λ1 = 1 и Re(h1 λ 1 ) = 1, Jm(h1 λ1 ) = 0, тогда получим систему линейных дифференциальных уравнений в виде:

Решим эту СЛАУ методом Крамера:

Тогда

Запишем компоненты общего решения СДУ :