Выполнили ученики 10«А» класса: Калиниченко Глеб, Литвиненко Анна, Нерезенко Ярослава,, Пеков Денис. Руководитель: преподаватель математики Полищук Ирина Валериевна Макеевская общеобразовательная школа I – III ступеней 11 Макеевского городского совета Донецкой области

Цель: изучить сходства и различия в графиках и свойствах тригонометрических функций; Задачи: - дать определения тригонометрических функций; - рассмотреть графики и свойства этих функций; - сравнить полученные результаты;

Определение. Тригонометрические функции - это неалгебраические функции, устанавливающие зависимость между сторонами и углами треугольника. Тригонометрические функции угла α определяются при помощи числовой окружности, а также из прямоугольного треугольника (для острых углов).

Определение. Числовая окружность – единичная окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности). Уравнение числовой окружности: x 2 + y 2 = 1.

Движение по числовой окружности происходит против часовой стрелки 0 π/2 π 3π/2 2π2π I четверть II четверть III четверть IV четверть

Если движение по числовой окружности происходит по часовой стрелке, то значения получаются отрицательными 0 -π/2 -π-π -3π/2 -2π

Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида t + 2πk, где параметр k – любое целое число (k є Z). M(t) M(t + 2πk)

Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t. Если M(t) = M(x; y), то x = cos t, y = sin t. M (t) cos t sin t

Свойство 1. Для любого числа t справедливы равенства: Свойство 2. Для любого числа t справедливы равенства: Свойство 3. Для любого числа t справедливы равенства: sin (-t) = - sin t; cos (-t) = cos t. sin (t + 2πk) = sin t, cos (t + 2πk) = cos t. sin (t + π) = - sin t; cos (t + π) = - cos t.

Определение. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t. Определение. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg t. tg t = sin t / cos t, где t 0,5π + πk, k є Z ctg t = cos t / sin t, где t πk, k є Z

Свойство 1. Для любого допустимого значения t справедливы равенства: Свойство 2. Для любого допустимого значения t справедливы равенства: tg (-t) = - tg t; ctg (-t) = - ctg t. tg (t + π) = tg t; ctg (t + π) = ctg t. tg (t + πk) = tg t; ctg (t + πk) = ctg t, где k є Z.

Определение. Тригонометрические функции числового аргумента t – функции y = sin t, y = cos t, y = tg t, y = ctg t. Основные соотношения, связывающие значения различных тригонометрических функций: sin 2 t + cos 2 t = 1; tg t * ctg t = 1, где t πk / 2; 1 + tg 2 t = 1 / cos 2 t, где t 0,5π + πk, k є Z; 1 + ctg 2 t = 1 / sin 2 t, где t πk, k є Z.

Определение. Линию, служащую графиком функции y = sin x, называют синусоидой. 2π2π -π-π π -2π

Свойство 1. D(y) = (-;+). Свойство 2. y = sin x – нечетная функция. Свойство 3. Функция y = sin x убывает на отрезке [-π/2+2πk; π/2 + 2πk] и возрастает на отрезке [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk ], где k є Z. Свойство 4. Функция ограничена и сверху и снизу (-1 sin t 1). Свойство 5. y наим = -1; y наиб = 1. Свойство 6. Функция y = sin x периодическая, ее основной период равен 2π. Свойство 7. y = sin x – непрерывная функция. Свойство 8. E(y) = [-1;1]. Свойство 9. Функция выпукла вверх на отрезке [0 + 2πk; π + 2πk], выпукла вниз на отрезке [π + 2πk; 2π + 2πk], где k є Z.

Определение. Линию, служащую графиком функции y = cos x, называют синусоидой (косинусоидой). -π/2 -3π/2 3π/2π/2

Свойство 1. D(y) = (-;+). Свойство 2. y = cos x – четная функция. Свойство 3. Функция y = cos x убывает на отрезке [2πk; π + 2πk] и возрастает на отрезке [π + 2πk; 2π + 2πk ], где k є Z. Свойство 4. Функция ограничена и сверху и снизу (-1 cos t 1). Свойство 5. y наим = -1; y наиб = 1. Свойство 6. Функция y = cos x периодическая, ее основной период равен 2π. Свойство 7. y = cos x – непрерывная функция. Свойство 8. E(y) = [-1; 1]. Свойство 9. Функция выпукла вверх на отрезке [-0,5π+2πk; 0,5π+2πk], выпукла вниз на отрезке [0,5π+2πk; 1,5π+2πk], где k є Z.

-3π/2 -π-π π 3π/2 -π/2 π/2 Y=tg x

Свойство 1. D(y) = (-П/2;+П/2). Свойство 2. E(y) = (-;+). Свойство 3. Функция y = tg x возрастает на отрезке [-π/2 + πk; π/2 + πk ], где k є Z. Свойство 4. Функция неограничена. Свойство 5. наибольшего и наименьшего значения функции нет. Свойство 6. Функция y = tg x периодическая, ее период равен π. Свойство 7. y = tg x – непрерывная функция. Свойство 8. y = tg x – нечётная функция. Свойство 9. Есть вертикальные асимптоты.

-П/2П/2 П П 3П/2 2П Y=ctg x

Свойство 1. D(y) = (0;+П/2). Свойство 2. E(y) = (-;+). Свойство 3. Функция y = ctg x убывает на отрезке [πk; π/2 + πk ], где k є Z. Свойство 4. Функция неограничена. Свойство 5. наибольшего и наименьшего значения функции нет. Свойство 6. Функция y = ctg x периодическая, ее период равен π. Свойство 7. y = ctg x – непрерывная функция. Свойство 8. y = ctg x – нечётная функция. Свойство 9. Есть вертикальные асимптоты.

Вывод: над проблемным вопросом «В чём сходство и различие тригонометрических функций» работала группа учеников 10 «А» класса. Нам предстояло подробно рассказать о свойствах и графиках тригонометрических функций, для того что бы узнать чем же они друг от друга отличаются. Мы постарались очень чётко изобразить графики функций, по которым видны все отличия и сходства и подобрать основные свойства. Мы считаем, что с заданием справились и эта презентация поможет нам и нашим одноклассникам разобраться в том, в чём ещё не разобрались.