Руководитель: учитель математики Ускова Н.Н. МОУ лицей г.

Теоретическая часть

Основная идея метода Любое неравенство приводимо к виду где символ « » обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:,,,. (1)

Монотонность – ключ к замене Утверждение 1. Функция есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью, то есть Утверждение 2. Функция есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью, то есть Комментарий. Практически, только замена знакопостоянных множителей не вытекает из этих утверждений. Поэтому, если нет желания трогать знак неравенства, всюду положительные множители просто убираем, а всюду отрицательные заменяем на (-1). Популярный знакопостоянный множитель – квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом – заменяем на старший коэффициент (или на свободный член), то есть (2)

Функция и вызываемые ею замены Поскольку функция при является строго возрастающей на множестве неотрицательных чисел (а при нечетном натуральном n – на всей числовой оси), то в силу утверждения 1 справедливы замены: Функции и, рассматриваемые на множестве неотрицательных чисел, являются взаимнообратными и строго возрастающими, то есть Поэтому Так как и для любого m, то получаем, что (3)(3) (4)(4) (7)(7) (6)(6) (5)(5)

Пример 1. Решить неравенство Решение (подробное). Исходное уравнение имеет вид Все множители u 1, u 2, v 1 и v 2 имеют вид поэтому, в силу (5), эти множители можно заменить на знакосовпадающие с ними множители вида : (8) Так как и, то с учетом неотрицательности подкоренного выражения получаем:

где знакопостоянные (D

Ответ:

Две любопытные замены: (9) (10) Замена (9) очень удобна там, где приходится отслеживать область допустимых значений. Замена (10) суммы при возможном одновременном равенстве нулю подкоренных выражений на сумму позволяет учитывать эту возможность.

Пример 2. Решить неравенство Решение. Ответ:

Пример 3. Решить неравенство Решение. В этом неравенстве уже нельзя множители и рассматривать как разности неотрицательных величин, так как выражения 3x и 2x в области допустимых значений (то есть при ) могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако, если область допустимых значений исходного неравенства разбить на два промежутка и (точка x=0 есть точка смены знака выражений 3x и 2x), то легко заметить, что на промежутке мы имеем произведение двух положительных чисел, и поэтому исходное неравенство ложно, а на втором промежутке каждый множитель есть разность двух неотрицательных чисел, а следовательно, можно воспользоваться методом замены множителей. Итак, имеем

так как при x>0 (x+1) и (3x+14) – положительные числа Ответ.

Показательная и логарифмическая функция и вызываемые ею замены Показательная функция, как известно, строго убывает при и строго возрастает при. Поэтому, в частности для получаем Для произвольного основания a, пользуясь основным логарифмическим тождеством, можно увидеть, что Откуда (11)

Функция - строго возрастающая. Поэтому Если x 1 =a и x 2 =1, то получаем, что (12) Откуда соотношение (11) принимает вид (13) Таким образом, мы установили, что разность степеней с одним и тем же основанием всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на разность основания и единицы.

Для логарифмической функции аналогично устанавливаем Отсюда следует, что То есть разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с отношением разности подлогарифмических выражений к разности основания и единицы: (14)

Замечание. Утверждения (14) и (13) равносильны, поскольку показательная и логарифмическая функции взаимнообратны. Эти утверждения также позволяют исключительно эффективно решать очень многие неравенства, которые принято относить к разряду задач повышенной сложности. В частности из (13) и (14) следуют полезные схемы решения основных показательных логарифмических неравенств: 1) 2)

3) 4)

6) 5)

Практическая часть Решение неравенств

Пример 1. Решение.

Пример 2. Решение.

Пример 3. Решение.

Пример 4. Решение.

Пример 5. Решение.

Пример 6. Решение.

Пример 7. Решение.

Пример 8. Решение.

Пример 9. Решение.

Пример 10. Решение.

Пример 11. Решение.

Пример 12. Решение.

Пример 13. Решение.

Пример 14. Решение.

Пример 15. Решение.

Пример 16. Решение.

Пример 17. Решение.

Пример 18. Решение.

Пример 19. Решение.

Пример 20. Решение.

Итоги

I. Стандартный вид неравенств, когда применяется метод замены множителей где символ « » обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:,,,.

II. Основная идея метода замены множителей состоит в замене любого множителя в числителе или знаменателе на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни. Замечание. Преобразованное таким образом неравенство всегда равносильно исходному в области существования последнего. Предупреждение. Указанная замена возможна только тогда, когда неравенство приведено к стандартному виду

III. Две основные замены: если f(t) – строго возрастающая функция; если f(t) – строго убывающая функция.

IV. Наиболее часто встречающиеся замены (без учета ОДЗ):

Голубев В. И. Метод замены множителей, М: Архимед. Лекции и задачи. Вып. 4., 2006 г. Голубев В. И., Шарыгин И.Ф. Эффективный путь решения неравенств М. Квантор 1993 г.