Формулы приведения x y I четверть II четверть III четверть IV четверть Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

x y 0 cos sin Построим произвольный острый угол поворота. Теперь изобразим углы , , и сos( ) sin( ) сos( ) sin( ) sin( ) cos( ), Из равенства прямоугольных треугольников можно заключить, что: cos =sin( )=–cos( )=–sin( )=cos( ), а также sin =–cos( )=–sin( )=cos( )=sin( ).

Значения тригонометрических функций любых углов поворота можно привести к значению тригонометрических функций острого угла. Для этого и применяются формулы приведения. Попробуем разобраться в следующей таблице (перенесите её в тетрадь!): Функция аргумент(угол) n – четное n – нечетное sin cos sin tg ctg tg С первым столбцом все ясно – в нем известные Вам тригонометрические функции. Во втором столбце показано, что любой аргумент(угол) этих функций можно представить в таком виде. Поясним это на конкретных примерах:

В градусной мере:В радианах: =90 0 · =90 0 ·12– Как видите мы использовали известное Вам с начальной школы действие – деление с остатком. Причем, остаток не превышает делителя 90 (в случае градусной меры) или (в случае радианной меры). Потренируйтесь делать это! Умножьте полученные сумму или разность на и получите искомые выражения. В любом случае мы добились следующего: наш аргумент тригонометрической функции представлен в виде целого числа прямых углов плюс или минус какой-то острый угол. Обратим теперь внимание на 3-й и 4-й столбцы таблицы. Сразу заметим, что в случае четного числа прямых углов тригонометрическая функция остается такой же, а в случае нечетного числа – изменяется на кофункцию (sin на cos, tg на ctg и наоборот), причем аргументом этой функции является остаток.

Осталось разобраться со знаком перед каждым результатом. Это знаки данных функций, зависящие от координатных четвертей. Напомним их: х 0 у 1 1 х 0 у 1 1 х 0 у 1 1 Знаки sinЗнаки cosЗнаки tg и ctg –– – – – – Важно! Не забудьте определять знак окончательного результата по данной функции, а не той, которая получается в случае с четным или нечетным числом прямых углов! Отработаем на конкретных примерах, как пользоваться этой таблицей. Пример 1. Найти sin Решение. Вначале представим данный угол в нужном нам виде: =90 0 · =90 0 ·12–60 0 III

В первом случае нам придется изменять данную функцию синус на кофункцию – косинус (количество прямых углов нечетное – 11), во втором функция синус сохранится. I II Остается невыясненным вопрос о знаке перед полученным результатом. Для его решения нам необходимо уметь работать с единичной тригонометрической окружностью (внимательно следите за вращением точки): ? ? х у х у I II В любом случае получается IV четверть, в которой синус отрицательный. ––

Значит, Пример 2. Все этапы решения проделайте самостоятельно (под контролем учителя). Решение: В случаях, когда аргумент тригонометрической функции является отрицательным, используют свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

Пример 3. Привести к значению тригонометрической функции положительного острого угла значение tg(– ). Решение: Т.к. формулы приведения приводят к значению тригонометрических функций острого угла, то достаточно держать в памяти: х у