Логические задачи (Вити Верхоглядкина). Математический клуб «Архимед» занятие 4 занятие 4Цель: 1.Развивать логическое мышление при решении задач повышенной трудности. 2.Рассмотреть варианты решения задач на знание основного свойства дроби. Апрель 2010г.

1 Витя Верхоглядкин должен был разложить на простые множители числа 186, 367, 780. Он старательно трудился и к концу урока подал учителю тетрадь с такими решениями: а) 186= 2 х 2 х 3 х 3 х 5; б) 367= 2 х 3 х 3 х 7; в) 780 = 2 х 2 х 2 х 3 х 11. К его удивлению, через несколько секунд тетрадь вернулась к нему. Не сможете ли вы объяснить, как удалось учителю так быстро установить, что все числа Витя разложил неверно? Решение: а) если перемножим данные числа, то произведение будет оканчиваться нулем. б) среди делителей данного числа не может быть числа 2, так как это число нечетно. в) произведение чисел в правой части равенства не дает числа, оканчивающегося нулем.

2 «Таня купила в магазине яйца и положила их в небольшую корзиночку. По дороге домой она сообразила, что число яиц делится и на 2, и на 3, и на 5, и на 10, и на 15. Сколько яиц купила Таня» Витя Верхоглядкин поднял руку самый первый. Когда его спросили, он с гордым видом ответил: - Эта задача не имеет решения. Чтобы найти число яиц, надо перемножить числа 2, 3, 5, 10, 15. Получится яиц. Разве может в одной корзинке поместиться столько яиц? А вы, ребята, согласны с его решением? Кто скажет, в чем Витя ошибся? 2 «Таня купила в магазине яйца и положила их в небольшую корзиночку. По дороге домой она сообразила, что число яиц делится и на 2, и на 3, и на 5, и на 10, и на 15. Сколько яиц купила Таня» Витя Верхоглядкин поднял руку самый первый. Когда его спросили, он с гордым видом ответил: - Эта задача не имеет решения. Чтобы найти число яиц, надо перемножить числа 2, 3, 5, 10, 15. Получится яиц. Разве может в одной корзинке поместиться столько яиц? А вы, ребята, согласны с его решением? Кто скажет, в чем Витя ошибся? Не согласны Не согласны Ошибка - для нахождения кратного 2, 3, 5, 10, 15 он перемножил все числа. Ошибка - для нахождения кратного 2, 3, 5, 10, 15 он перемножил все числа. 10= 2 х 5, 15= 3 х 5. 10= 2 х 5, 15= 3 х 5. Правильный ответ: 30. Правильный ответ: 30.

3 Вите Верхоглядкину учитель предложил выполнить следующее задание: «Запишите все двузначные числа, сумма цифр которых равна трем. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел». Витя все сделал, что требовалось, и записал ответ: Вите Верхоглядкину учитель предложил выполнить следующее задание: «Запишите все двузначные числа, сумма цифр которых равна трем. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел». Витя все сделал, что требовалось, и записал ответ: 623. Верен ли его ответ? Верен ли его ответ? Нет. Нет. Существует только три двузначных числа, сумма цифр которых равна трём: 12, 21, 30. Существует только три двузначных числа, сумма цифр которых равна трём: 12, 21, = 2 х 2 х 3; 21 = 3 х 7; 30 = 2 х 3 х = 2 х 2 х 3; 21 = 3 х 7; 30 = 2 х 3 х 5. Наименьшее общее кратное: 2 х 2 х 3 х 5 х 7 = 420. Наименьшее общее кратное: 2 х 2 х 3 х 5 х 7 = 420. А нельзя ли доказать, что наименьшее общее кратное чисел 12, 21, 30 не может быть равно 623 без вычислений? А нельзя ли доказать, что наименьшее общее кратное чисел 12, 21, 30 не может быть равно 623 без вычислений? кратно 10, а нет кратно 10, а нет четное число, а нет четное число, а нет , 21, 30 кратны 3, а нет , 21, 30 кратны 3, а нет.

4 Витя Верхоглядкин в школу идет 2/5 ч., а из школы 4/10 ч. Как это объяснить? 2/5 = 4/10. 5 Витя Верхоглядкин записывал два числа, находил для каждого из них обратное. Потом умножал все четыре числа. И, странное дело, в произведении всегда получалось число 1. Почему? Ответ: Потому что перемножаются две пары взаимно обратных чисел ( ( a х b х 1 х 1 = 1 ). a b 6 Витя Верхоглядкин записал в тетрадь два натуральных числа. Разделил первое на второе, получилось 0,7. Разделил второе на первое, получилось 0,13. Не ошибся ли он? Ответ: Ошибся, так как произведение частных должно быть равно 1. ( a х b = 1 ), а 0,7 х 0,13 = 1 ? b а

Круги Эйлера. 1 В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 - в шахматы. Сколько учащихся класса играют и в шашки и в шахматы? 1 В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 - в шахматы. Сколько учащихся класса играют и в шашки и в шахматы? Ответ: 18 учащихся. Ответ: 18 учащихся. 2 Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба эти языка. Английский язык изучают 25 человек, французский - 27 человек, а тот и другой – 18 человек. Сколько всего учеников в классе? 2 Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба эти языка. Английский язык изучают 25 человек, французский - 27 человек, а тот и другой – 18 человек. Сколько всего учеников в классе? Ответ: 34. Ответ: В бригаде полеводов 25 человек. Среди них 20 человек моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть? 3 В бригаде полеводов 25 человек. Среди них 20 человек моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть? Решение: Может в том случае, если 10 человек моложе 20 лет, 10 - в возрасте от 20 до 30 лет и 5 - старше 30 лет. Решение: Может в том случае, если 10 человек моложе 20 лет, 10 - в возрасте от 20 до 30 лет и 5 - старше 30 лет.

Задачи о переливании. 1 Как, имея два сосуда емкостью 5 и 8 литров, набрать из водопроводного крана 3 литра воды? Решение: наполнить 8 литровый сосуд и отлить из него 5 литров в 5-литровый. 2 Как, имея два сосуда емкостью 3 и 5 литров, набрать из водопроводного крана 7 литров воды? Решение: из полного 5 - литрового сосуда наполнить 3 - литровый. Вылить воду из 3 - литрового сосуда и перелить в него оставшиеся в 5 - литровом 2 литра. Еще раз наполнить 5 - литровый сосуд. 3 Есть 2 кувшина емкостью 3 и 5 литров. Как с помощью только этих кувшинов отмерить ровно 1 литр жидкости? Решение: 1. наполнить 3 – литровый кувшин жидкостью; 2.перелить жидкость из 3 – литрового кувшина в 5 – литровый; 3. наполнить 3 – литровый кувшин жидкостью; 4.дополнить жидкостью из 3 - литрового кувшина в 5 – литровый: туда должно войти ровно 2 литра, а 1 литр жидкости останется в 3 – литровом кувшине.