Курс лекций по теоретической механике Динамика (I часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 2. Лекция 2. Решение обратной задачи динамики. Общие указания к решению обратной задачи динамики. Примеры решения обратной задачи динамики. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха.

Лекция 2 После подстановки найденных значений постоянных получаем: Таким образом, под действием одной и той же системы сил материальная точка может совершать целый класс движений, определяемых начальными условиями. Начальные координаты учитывают исходное положение точки. Начальная скорость, задаваемая проекциями, учитывает влияние на ее движение по рассматриваемому участку траектории сил, действовавших на точку до прихода на этот участок, т.е. начальное кинематическое состояние. Решение обратной задачи динамики – В общем случае движения точки силы, действующие на точку, являются переменными, зависящими от времени, координат и скорости. Движение точки описывается системой трех дифференциальных уравнений второго порядка: После интегрирования каждого из них будет шесть постоянных C 1, C 2,…., C 6 : Значения постоянных C 1, C 2,…., C 6 находятся из шести начальных условий при t = 0: Пример 1 решения обратной задачи: Свободная материальная точка массы m движется по действием силы F, постоянной по модулю и величине.. В начальный момент скорость точки составляла v 0 и совпадала по направлению с силой. Определить уравнение движение точки. 1. Составляем основное уравнение динамики: 3. Понижаем порядок производной: 2. Выберем декартову систему отсчета, направляя ось x вдоль направления силы и спроецируем основное уравнение динамики на эту ось: или x y z 4. Разделяем переменные: 5. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 6. Представим проекцию скорости как производную координаты по времени: 8. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 7. Разделяем переменные: 9. Для определения значений постоянных C1 и C2 используем начальные условия t = 0, v x = v 0, x = x 0 : В итоге получаем уравнение равнопеременного движения (по оси x): 5

Общие указания к решению прямой и обратной задачи. Порядок решения: 1. Составление дифференциального уравнения движения: 1.1. Выбрать систему координат – прямоугольную (неподвижную) при неизвестной траектории движения, естественную (подвижную) при известной траектории, например, окружность или прямая линия. В последнем случае можно использовать одну прямолинейную координату. Начало отсчета совместить с начальным положением точки (при t = 0) или с равновесным положением точки, если оно существует, например, при колебаниях точки Изобразить точку в положении, соответствующем произвольному моменту времени (при t > 0) так, чтобы координаты были положительными (s > 0, x > 0). При этом считаем также, что проекция скорости в этом положении также положительна. В случае колебаний проекция скорости меняет знак, например, при возвращении к положению равновесия. Здесь следует принять, что в рассматриваемый момент времени точка удаляется от положения равновесия. Выполнение этой рекомендации важно в дальнейшем при работе с силами сопротивления, зависящими от скорости Освободить материальную точку от связей, заменить их действие реакциями, добавить активные силы Записать основной закон динамики в векторном виде, спроецировать на выбранные оси, выразить задаваемые или реактивные силы через переменные время, координаты или скорости, если они от них зависят. 2. Решение дифференциальных уравнений: 2.1. Понизить производную, если уравнение не приводится к каноническому (стандартному) виду. например: или 2.2. Разделить переменные, например: или 2.4. Вычислить неопределенные интегралы в левой и правой частях уравнения, например: 2.3. Если в уравнении три переменных, то сделать замену переменных, например: и затем разделить переменные. Замечание. Вместо вычисления неопределенных интегралов можно вычислить определенные интегралы с переменным верхним пределом. Нижние пределы представляют начальные значения переменных (начальные условия).Тогда не требуется отдельного нахождения постоянной, которая автоматически включается в решение, например: Используя начальные условия, например, t = 0, v x = v x0, определить постоянную интегрирования: 2.5. Выразить скорость через производную координаты по времени, например, и повторить пункты Замечание. Если уравнение приводится к каноническому виду, имеющему стандартное решение, то это готовое решение и используется. Постоянные интегрирования по прежнему находятся из начальных условий. См., например, колебания (лекция 4, стр.8). Лекция 2 ( продолжение 2.2 )

Лекция 2 ( продолжение 2.3 ) Пример 2 решения обратной задачи: Сила зависит от времени. Груз весом P начинает двигаться по гладкой горизонтальной поверхности под действием силы F, величина которой пропорциональна времени (F = kt). Определить пройденное расстояние грузом за время t. 3. Составляем основное уравнение динамики: 5. Понижаем порядок производной: 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : или 7 6. Разделяем переменные: 7. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 9. Представим проекцию скорости как производную координаты по времени: 10. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 9. Разделяем переменные: 8. Определим значение постоянной C 1 из начального условия t = 0, v x = v 0 =0 : В итоге получаем уравнение движения (по оси x), которое дает значение пройденного пути за время t: 1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату: x y x O 2. Принимаем объект движения за материальную точку (тело движется поступательно), освобождаем от связи (опорной плоскости) и заменяем реакцией (нормальной реакцией гладкой поверхности): 11. Определим значение постоянной C 2 из начального условия t = 0, x = x 0 =0 : Пример 3 решения обратной задачи: Сила зависит от координаты. Материальная точка массой m брошена вверх с поверхности Земли со скоростью v 0. Сила притяжения Земли обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра тяготения (центра Земли). Определить зависимость скорости от расстояния y до центра Земли. 1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату: x y y O 2. Составляем основное уравнение динамики: 3. Проецируем основное уравнение динамики на ось y : или Коэффициент пропорциональности можно найти, используя вес точки на поверхности Земли: R Отсюда дифференциальное уравнение имеет вид: или 4. Понижаем порядок производной: 5. Делаем замену переменной: 6. Разделяем переменные: 7. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 8. Подставляем пределы: В итоге получаем выражение для скорости в функции от координаты y : Максимальную высоту полета можно найти приравнивая скорость нулю: Максимальная высота полета при обращении знаменателя в нуль: Отсюда при постановке радиуса Земли и ускорения свободного падения получается II космическая скорость:

Лекция 2 ( продолжение 2.4 ) Пример 2 решения обратной задачи: Сила зависит от скорости. Судно массы m имело скорость v0. Сопротивление воды движению судна пропорционально скорости. Определить время, за которое скорость судна упадет вдвое после выключения двигателя, а также пройденное расстояние судном до полной остановки Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату: x y x O 2. Принимаем объект движения за материальную точку (судно движется поступательно), освобождаем от связей (воды) и заменяем реакцией (выталкивающей силой – силой Архимеда), а также силой сопротивления движению. 3. Добавляем активную силу (силу тяжести). 4. Составляем основное уравнение динамики: 5. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : или 6. Понижаем порядок производной: 7. Разделяем переменные: 8. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 9. Подставляем пределы: Получено выражение, связывающее скорость и время t, откуда можно определить время движения: Время движения, за которое скорость упадет вдвое: Интересно заметить, что при приближении скорости к нулю время движения стремится к бесконечности, т.е. конечная скорость не может быть равна нулю. Чем не вечное движение? Однако, при этом пройденный путь до остановки является конечной величиной. Для определения пройденного пути обратимся к выражению, полученному после понижения порядка производной, и сделаем замену переменной: После интегрирования и подстановки пределов получаем: Пройденный путь до остановки: Движение точки, брошенной под углом к горизонту, в однородном поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха x y x O Исключив время из уравнений движения получаем уравнение траектории: Время полета определяем приравниванием координаты y нулю: Дальность полета определяем подстановкой времени полета: