"Красота и изящество ОКРУЖАЮЩЕГО МИРА в геометрии" Работу выполнили: Цупенко В. Унгер А. Акопян Д. Маяцкая А. Руководители: Рощупкин С.П. Рощупкина В.А.

Основной вопрос: Математика, искусство и красота – понятия неразделимые? Вопрос учебной темы: Какова взаимосвязь законов математики и закономерностей, существующих в окружающем мире? Учебные предметы: Проект разрабатывался в глубоком интегрировании с другими учебными предметами: математика, физика, астрономия, история, биология, география, информатика, Участники: учащиеся 11 класса

Дидактические цели проекта: формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности; формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности; Формирование мышления, навыков работы в команде; Формирование мышления, навыков работы в команде; умения самостоятельно работать с большим объемами информации, умения самостоятельно работать с большим объемами информации, умения увидеть проблему и пути ее решения. умения увидеть проблему и пути ее решения.

Методические задачи проекта: освоить представление о важности математики в повседневной жизни человека; освоить представление о важности математики в повседневной жизни человека; Уметь применять приобретённые математические знания для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире. Уметь применять приобретённые математические знания для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире. Научиться проводить исследования и оформлять эти результаты. Научиться проводить исследования и оформлять эти результаты. научить пользоваться информационными технологиями для представления результатов; научить пользоваться информационными технологиями для представления результатов; научить кратко и внятно излагать свои мысли устно и письменно. научить кратко и внятно излагать свои мысли устно и письменно.

Вопросы для самостоятельных исследований учащихся: Вопросы для самостоятельных исследований учащихся: Математика и искусство. Математика и искусство. Удивительный мир симметрии. Удивительный мир симметрии. Пропорция. Тайны золотого сечения. Пропорция. Тайны золотого сечения. Что можно обнаружить в пропорциях человеческого тела? Что можно обнаружить в пропорциях человеческого тела? Золотые пропорции в природе, живописи, скульптуре. Золотые пропорции в природе, живописи, скульптуре. Пять красивых тел. Гармония паркетов. Пять красивых тел. Гармония паркетов.

Эпиграфом урока будут слова немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера: «…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Сигсон (г.Рыбинск) нашел не худший способ фотографирования снежинок: снежинки надо помещать на тончайшей, почти паутинной, сетке из шелковинок, - тогда их можно снять во всех деталях, а сетку потом заретушировать. Сигсон (г.Рыбинск) нашел не худший способ фотографирования снежинок: снежинки надо помещать на тончайшей, почти паутинной, сетке из шелковинок, - тогда их можно снять во всех деталях, а сетку потом заретушировать. В 1933 году наблюдатель полярной станции на Земле Франца- Иосифа Касаткин получил более 300 снимков снежинок разнообразнейшей формы. В 1955 году А. Заморский разделил снежинки на 9 классов и 48 видов. Это – пластинки, звёзды, ежи, столбики, пушинки, запонки, призмы, групповые. Кеннет Либрехт (Калифорния) составил полный справочник снежинок. ИЗ ИСТОРИИ ИЗУЧЕНИЯ СНЕЖИНОК

Иоганн Кеплер отметил, что все снежинки имеют отметил, что все снежинки имеют 6 граней и одну ось симметрии; проанализировал симметрию снежинок. проанализировал симметрию снежинок. ИЗ ИСТОРИИ ИЗУЧЕНИЯ СНЕЖИНОК

Симметрия снежинок

Рассмотрим отрезок АВ. Его можно разделить точкой С на две части бесконечным множеством способов, но говорят что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении: Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число ?, называется золотым прямоугольником. Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: обложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов, экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.

А теперь продолжим работу с золотым прямоугольником. В нём построим квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Оказывается, снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике снова построим квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получился золотой прямоугольник. Произведём несколько аналогичных построений. Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой. Сделаем это с помощью циркуля следующим образом… Мы получили кривую, которая является золотой спиралью. Оказывается, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль.

Рассмотрим расположение семечек в корзине подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в другую – 21. Отношение 13/21 равно j. У более крупных соцветий подсолнуха число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу j. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса.

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы. Из всего сказанного можно сделать выводы: во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы; во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Человек – венец творения природы… Установлено, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция. Оказывается, что у большинства людей, верхняя точка уха, на рисунке это точка В, делит высоту головы вместе с шеей, т.е. отрезок АС, в золотом отношении. Нижняя точка уха, точка D, делит в золотом отношении расстояние ВС, т.е. расстояние от верхней части уха до основания шеи. Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении, т.е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC.

Перейдем к пропорциям тела. Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении. Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении.

Конечно, пифагорейцы не случайно выбрали пентаграмму. Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Например, число лучей этой звезды представлялось пифагорейцами как число любви: 5 = 2 + 3; 2 – первое женское число, 3 – первое мужское число. Именно поэтому пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей присваивалась способность защищать человека от злых духов. Чем же интересен этот символ с точки зрения математики? Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций! Из подобия треугольников ACD и ABE можно вывести известную пропорцию Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и золотые отношения будут сохраняться.

ЛОТАРИНГСКИЙ КРЕСТ На рисунке изображен лотарингский крест, служивший эмблемой «Свободной Франции» (организация, которую в годы второй мировой войны возглавлял генерал де Голль). Он составлен из тринадцати единичных квадратов. Установлено, что прямая проходящая через точку А и делящая площадь лотарингского креста на две равные части, делит отрезок ВС в золотом отношении.

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗОЛОТОМ ОТНОШЕНИИ Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача, она присутствует в «Началах Евклида», который решил ее геометрически. На отрезке АВ построен квадрат АВС D. Требуется найти точку Y, делящую АВ в среднем отношении. Соединим точку Е – середину АС – с точкой В. На продолжении стороны СА квадрата отложим отрезок Е J = ВЕ. На отрезке AJ построим квадрат AJHY. Продолжение стороны HJ до пересечения с CD в точке К делит квадрат ABCD на два прямоугольника AYKC и YBDK. Существует чисто геометрическое доказательство, что прямоугольник YBDK равновелик квадрату AJHY.

Произвольный отрезок разделите в золотом отношении. Используя полученные отрезки, постройте золотой треугольник, боковой стороной которого является исходный отрезок. На рисунке изображена пентаграмма. Используя данные обозначения и выполнив необходимые измерения, найдите: а) золотые сечения; б) золотые треугольники. Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении.

Волошинов А.В. Математика и искусство. М., Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М., Журнал «Квант», Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней школе. Сб. статей под ред. П. Стратилатова. – М.: Учпедгиз, Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, Левитин К. Геометрическая рапсодия. М., Лукач Д. Своеобразие эстетического. М., Мурадова Р. Обобщающий урок по теме «Золотое сечение». // Математика (Приложение к газете «Первое сентября») Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, Прохоров А.И. Золотая спираль // Квант Самохвалова В.И. Красота против энтропии. М., Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах // Математика в школе – 6. Хогарт В. Анализ красоты. М., Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

Как сказал Г. Галилей «Природа говорит языком матеметики.» «Природа – есть замечательный сад гармонии.»