Автор Батырова Алия ученица 11 класса МОУ-СОШ с. Кировское

Задачи на переливания можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма, на котором нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.

Имеются два сосуда - трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5- литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом.

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Пусть шар находится в левом нижнем углу* и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны*. Координаты точки, в которую ударился шар - (0;3). Это означает, что мы полностью наполнили жидкостью малый сосуд*, а большой остается пока пустым

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится в точку нижнего борта*, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд*

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Отразившись от точки (3;0), шар ударится о верхний борт в точку с координатами 3 по горизонтали и 3 по вертикали*. Это означает, что в обоих сосудах станет по 3 литра жидкости*

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Вновь отразившись, шар покатится вправо вниз, в точку, координаты которой 5 по горизонтали и 1 по вертикали*, то есть большой сосуд будет полностью заполнен*, а в малом сосуде останется 1 литр жидкости

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Отразившись от правой боковой стенки параллелограмма, шар ударится в точку с координатами 0 по горизонтали и 1 по вертикали*. Это означает, что пятилитровый сосуд будет опустошен*, а малый сосуд будет по-прежнему содержать 1 литр жидкости

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Отразившись от левой боковой стены параллелограмма, шар ударится в точку, координаты которой 1 по горизонтали и 0 по вертикали*, то есть жидкость из малого сосуда переливается в большой сосуд*

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 На следующем шаге, шар ударится в точку с координатами 1 по горизонтали и 3 по вертикали*, значит малый сосуд полностью наполнится жидкостью*, а в большом сосуде пока остается 1 литр

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 И, наконец, шар попадает в точку, с координатами 4 по горизонтали и 0 по вертикали*, что соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом - 4 литра воды*

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды*. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице*

0 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Существует и второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд Из таблицы видно, что второй путь дает нам более короткое решение.

Метод бильярда можно применить к любой задаче о переливании жидкости с помощью не более чем трех сосудов. Рассмотрим другую интерпретацию предыдущей задачи.

Имеются три сосуда - восьмилитровый, полностью наполненный водой, пятилитровый и трехлитровый. Необходимо с помощью двух пустых сосудов емкостью 3 и 5 литров поровну разделить воду в два больших сосуда.

3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Диаграмма для этой задачи та же, только для фиксирования воды в третьем, восьмилитровом сосуде, дополнительно проводится диагональ параллелограмма*. Она делится наклонными прямыми на 8 частей* л 8 22

3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Пусть шар находится в левом нижнем углу параллелограмма* и после удара начнет перемещаться вправо, вдоль нижней стороны, до тех пор, пока не достигнет точки, координаты которой 5 по горизонтали и 0 по вертикали* л 2 8

3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 После отражения шар попадает в точку*, координаты которой 2 по горизонтали, 3 по вертикали и 3 по диагонали. Это означает, что жидкость из пятилитрового сосуда переливается в трехлитровый сосуд* л

3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Отражаясь от верхнего борта, шар попадает в точку* с координатами 2 по горизонтали, 0 по вертикали и 6 по диагонали. Это означает, что жидкость из трехлитрового сосуда переливается в восьмилитровый сосуд* л

3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 На следующем шаге шар попадет в точку*, координаты которой 0 по горизонтали, 2 по вертикали и 6 по диагонали. Это означает, что жидкость из пятилитрового сосуда переливается в трехлитровый* л

3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Отразившись от левого борта, шар попадет в точку* с координатами 5 по горизонтали, 2 по вертикали и 1 по диагонали, это означает, что жидкость из восьмилитрового сосуда переливается в пятилитровый* л

3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Отразившись от правого борта, шар попадает в точку*, координаты которой 4 по горизонтали, 3 по вертикали и 1 по диагонали. Это означает, что жидкостью из пятилитрового сосуда наполняется трехлитровый сосуд* л

3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 После отражения шар покатится в точку*, координаты которой 4 по горизонтали, 0 по вертикали и 4 по диагонали. Это означает, что жидкость из трехлитрового сосуда переливается в восьмилитровый сосуд* л

3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Таким образом получена последовательность переливаний, приводящих нас к правильному решению*. Все 7 переливаний схематически изображены в таблице* л